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题目

混合背包问题

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 $s_{i}$ 次（多重背包）；

每种体积是 $v_{i}$ ，价值是 $w_{i}$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N$ ， $V$ ，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_{i}$ , $w_{i}$ , $s_{i}$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

$s_{i}=−1$ 表示第 $i$ 种物品只能用1次；
$s_{i}=0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；
$s_{i}>0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $s_{i}$ 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000$

$0<v_{i},w_{i}≤1000$

$−1≤s_{i}≤1000$

输入样例

输出样例

解题思路

根据每个物品的类型分别应用不同的状态转移方程，将每一种类型的背包问题抽象成不同的方法

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {

    // 01背包问题
    public static void ZeroOnePack(int[] dp, int v, int w, int m) {
        for (int j = m; j >= v; j--) {  
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v] + w);
        }
    }
    
    // 完全背包问题
    public static void CompletePack(int[] dp, int v, int w, int m) {
        for (int j = v; j <= m; j++) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v]+w);
        }
    }
    
    // 多重背包问题
    public static void MultiplePack(int[] dp, int v, int w, int s, int m) {
        // 二进制拆分
        int[] newV = new int[10];        // 2^10 = 1024, 也就是说s最多可以拆成10个，故数组容量10
        int[] newW = new int[10];
        int newN = 0;                   // 新的物品种数
        for (int j = 1; j <= s; j *= 2) {
            newV[newN] = j * v;   // 体积
            newW[newN] = j * w;   // 价值
            s -= j;
            newN++;
        }
        if (s > 0) {
            newV[newN] = s * v;
            newW[newN] = s * w;
            newN++;
        }
        
        for (int i = 0; i < newN; i++) {
            for (int j = m; j >= newV[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-newV[i]]+newW[i]);
            }
        }
    }
   
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int n = sc.nextInt();               // 物品种数
        int m = sc.nextInt();               // 背包容积
        
        int[] dp = new int[m+1];
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int v, w, s;
            v = sc.nextInt();
            w = sc.nextInt();
            s = sc.nextInt();
            
            if (s == -1) {         // 01背包问题
                ZeroOnePack(dp, v, w, m);
            } else if (s == 0) {  // 完全背包问题
                CompletePack(dp, v, w, m);
            } else {              // 多重背包问题
                MultiplePack(dp, v, w, s, m);
            }

        }

        System.out.println(dp[m]);
    }
}

Reference

背包九讲

背包问题：混合背包问题

往期

题目

解题思路

Reference