本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。
说起面试题目，几乎大部分同学都有一个疑问：为什么各个公司的面试官总是很喜欢问AVL树和红黑树的问题？其实我们的日常开发中经常会跟红黑树打交道，而AVL树又跟红黑树关系匪浅。下面我们就先了解一下AVL树。
二叉查找树
磨刀不误砍柴工，我们先回顾一下二叉查找树。
二叉查找树（Binary Search Tree，简称BST树，也叫二叉搜索树、二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）它的左、右子树也分别为二叉查找树。
上面两棵都是二叉查找树，可以看到，对一棵二叉查找树进行中序遍历即可得到一个递增序列。
查询在二叉查找树T中查找x的过程为：
- 若T是空树，则搜索失败；
- 若x等于T的根结点的值，则查找成功；
- 若x小于T的根结点的值，则递归查找左子树；
- 若x大于T的根结点的值，则递归查找右子树。
插入在二叉查找树T中插入x的过程为：
- 若T是空树，则将x作为根结点插入；
- 若x小于T的根结点的值，则插入到左子树中；
- 若x大于T的根结点的值，则插入到右子树中。
删除在二叉查找树T中删除x的过程为：
- 若x是叶子结点，删除x；
- 若x只有一个左孩子或者一个右孩子，将x与子结点互换，删除x；
- 若x既有左孩子又有右孩子，则将x在中序遍历中的前驱结点或者后继结点与x互换，转化为前两种情况，再进行处理。
前两种情况比较容易理解，这里重点解释下第三种情况。比如我们要删除下面这棵树的结点15，那怎样才能让这棵树尽量维持原貌？马上想到，对一棵二叉查找树进行中序遍历即可得到一个递增序列。那用跟结点15大小关系最接近的结点来代替它的位置不就可以了吗！
如果用前驱结点12跟15交换，那就演变成了情况（1）；如果用后继结点18跟15交换，那就演变成了情况（2）。有没有可能前驱结点或者后继结点有两个子结点？不可能的。有两个子结点，就没办法成为待删除结点的前驱结点或者后继结点了。
最好的情况下，查找、插入、删除的效率都是O(logn)；最差情况下，二叉查找树演变成一个链表，查找、插入、删除效率都是O(n)。
那怎样避免二叉查找树演变成链表呢？AVL树就能解决这个问题！
AVL树
AVL树是具有如下性质的二叉查找树：
（1）每个结点的左右子树高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
通过计算每个结点的平衡因子，那么很容易看到，上面两棵二叉查找树，第一棵是AVL树，第二棵不是。AVL树通过对平衡因子的限制，避免了演变为链表的情况。
查找
AVL树的查找过程跟二叉查找树的一样。上图是一种最坏情况下的AVL树，刚好每个结点的左子树高度 - 右子树高度 = -1。变成了一棵倾斜的AVL树。AVL树最坏情况下的理论最大高度1.44log(N+2)-1.328（数学问题，这里就不论证了）。
插入
AVL树的插入过程跟二叉查找树的一样，但是AVL树的平衡性有可能被打破，需要进行一些调整来重新满足平衡性限制。
首先需要找到离插入结点最近且平衡因子绝对值大于1的结点，以这个结点为根结点的子树就是最小不平衡子树。然后对这棵最小不平衡子树进行调整。下图这棵树中，最小不平衡子树就是以8为根结点的子树。
调整策略可以归纳为以下四种（规则看不懂？配合图片慢慢思考，其实非常简单！）：
（1）LL型。给结点的左孩子（L）的左子树（L）中插入结点导致的失衡。
LL型调整规则（单右旋转）：右旋，将B结点提升为A的父结点，A结点及其右子树变为B的右子树，B的右子树变为A的左子树。
（2）RR型。给结点的右孩子（R）的右子树（R）中插入结点导致的失衡。
RR型调整规则（单左旋转）：左旋，将B结点提升为A的父结点，A结点及其左子树变为B的左子树，B的左子树变为A的右子树。
（3）LR型。给结点的左孩子（L）的右子树（R）中插入结点导致的失衡。
LR型调整规则（先左旋，再右旋）：先左旋，将C结点提升为B的父结点，C的左子树变为B的右子树；再右旋，将C结点提升为子树的根结点，A结点及其右子树变为C的右子树，C的右子树变为A的左子树。
（4）RL型。给结点的右孩子（R）的左子树（L）中插入结点导致的失衡。
RL型调整规则（先左旋，再右旋）：先左旋，将C结点提升为B的父结点，C的右子树变为B的左子树；再右旋，将C结点提升为子树的根结点，A结点及其左子树变为C的左子树，C的左子树变为A的右子树。
删除
AVL树的删除过程跟二叉查找树的一样，但是AVL树的平衡性有可能被打破，需要进行一些调整来重新满足平衡性限制。调整方式与插入过程的调整方式相同。
性能分析
AVL树查询、插入、删除的时间复杂度均为O(logn)。
最差情况下查询的效率约为1.44*O(logn)。
插入时间主要包含几个部分：寻找插入的位置O(logn)、插入操作O(1)、最小不平衡子树调整O(1)、回溯计算插入结点到根结点路径上各个结点平衡因子O(logn)。
删除时间主要包含几个部分：寻找待删除结点的位置+寻找待交换结点位置=O(logn)、将待删除结点交换到叶子结点上O(1)、删除交换后的叶子结点O(1)、最小不平衡子树调整O(1)、回溯计算删除结点到根结点路径上各个结点平衡因子+回溯过程中出现的最小不平衡子树调整O(logn)。
