多项式序列的生成函数上一篇文章研究了一个特定多项式序列的生成函数。这篇文章将探讨一般多项式序列的生成函数。(在上一篇文章

上一篇文章研究了一个特定多项式序列的生成函数。这篇文章将探讨一般多项式序列的生成函数。(在上一篇文章中，有一个不是多项式的交替项，但我们也会解决这个问题）。

这篇文章的出发点是一个简单的观察。

$x\left(\frac{d}{dx} x^n \right) = n x^n$

如果我们让xD是对一个函数进行微分然后将结果乘以x的算子，我们有

(xD) x^n = n x^n

我们可以应用xD m次，每次将x**n乘以n的一个因子。

(xD)^m x^n = n^m x^n

更一般地说，对于任何多项式p**(x)，我们有

p(xD) x^n = p(n) x^n

现在让S是一个整数集，通过对S中的n个x求和，形成生成函数F**(x)n与S中的n相加形成生成函数F(x)。

p(xD) x^n = p(n) x^n

那么我们有

$\begin{align*} p(xD)F(x) &= p(xD)\sum_S x^n \ &= \sum_S p(xD)x^n \ &= \sum_S p(n)x^n \end{align*}$

换句话说，用p**(n)乘以生成函数的第n项与用p**(xD)对生成函数进行运算是一样的。

例子

上一篇文章用Mathematica计算了

$Z_n = \frac{(-1)^n(3n+6) + 2n^3 + 12n^2 + 25n - 6}{12}$

的生成函数。这里我们将用下面的结果再次计算生成函数。

之前我们计算了

$g(x) = \sum_{n=1}^\infty Z_nx^n$

通过对正整数的求和，形成生成函数F(x)。但Z**n并不完全是一个n的多项式函数。除了交替项之外，它是一个n的立方多项式。如果我们把自己限制在n的偶数值上，交替项就是n的多项式，如果我们把自己限制在n的奇数值上，它就是另一个多项式。

定义

$\begin{align*} F_1(x) &= \frac{2n^3 + 12n^2 + 25n - 6}{12} \ F_2(x) &= \frac{(3n+6)}{12} \ F_3(x) &= -\frac{(3n+6)}{12} \ \end{align*}$

那么我们有

$\sum_{n} Z_nx^n = \sum_{n} F_1(n)x^n + \sum_{n \text{ even}} F_2(n)x^n + \sum_{n \text{ odd}} F_3(n)x^n$

为正整数n，将我们的原始生成函数分成三个生成函数，每个生成函数在不同的整数集上求和。

定义

$\begin{align*} g_1(x) &= \sum_{n > 1} x^n = \frac{x}{1-x}\ g_2(x) &= \sum_{n > 1,, n \text{ even}}^\infty x^n = \frac{x^2}{1 - x^2}\ g_3(x) &= \sum_{n > 1,, n \text{ odd}}^\infty x^n = \frac{x}{1 - x^2}\ \end{align*}$

那么

g(x) = F_1(xD)g_1(x) + F_3(xD)g_3(x) + F_3(xD)g_3(x)

如果我们展开上面这一行，我们应该得到与上一篇文章中相同的g**(x)的表达式。

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