本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

往期

题目

多重背包问题I

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_{i}$ 件，每件体积是 $v_{i}$ ，价值是 $w_{i}$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N$ ， $V$ ，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_{i}$ , $w_{i}$ , $s_{i}$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0< N,V\le 100$

$0< v_{i},w_{i},s_{i}\le 100$

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

解题思路

多重背包问题：每个物品有 $s_{i}$ 件

完全背包问题：每个物品可以无限使用

因此，对于当前物品，仍然考虑取 $0$ 件、取 $1$ 件、...、取 $k$ 件，但除了考虑背包容量限制之外还需考虑物品数量限制，即： $k\ast v[i] \le j$ && $k\le s[i]$

状态定义

$dp[i][j]$ : 前 $i$ 个物品，在容量为 $j$ 的背包下，最大的价值

状态转移

$dp[i][j]=max\left ( dp[i][j], dp[i-1][j-k\ast v[i]]+k\ast w[i] \right )$ $0\le k\le \left \lfloor \frac{j}{v[i]} \right \rfloor$ && $k\le s[i]$

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int n = sc.nextInt();               // 物品种数
        int m = sc.nextInt();               // 背包容积
        
        int[] v = new int[n+1];
        int[] w = new int[n+1];
        int[] s = new int[n+1];
        
        int[][] dp = new int[n+1][m+1];
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                for (int k = 0; k <= s[i] && (k * v[i] <= j); k++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);     //k是从0开始更新的。因此当k=0时，实际上就是dp[i-1][j]
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][m]);
    }
}

时间复杂度： $O\left ( n\ast m\ast s \right )$ 空间复杂度： $O\left ( n\ast m \right )$

背包问题：多重背包问题I

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