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[NOI Online #2 入门组] 建设城市

题目描述

球球是一位建筑师。一天，他收到市长的任务：建设城市。球球打算建造 $2n$ 座高楼。为了保证城市美观，球球做出了如下计划：

球球喜欢整齐的事物。他希望高楼从左向右排成一行，编号依次为 $1\sim 2n$ 。
球球喜欢整数，他要求每座高楼的高度都是正整数。
由于材料限制，高楼的高度无法超过 $m$ 。
球球喜欢中间高，两边低的造型。他要求前 $n$ 座高楼的高度不下降，后 $n$ 座高楼的高度不上升。
球球打算选两座编号为 $x,y$ 的高楼作为这座城市的地标。他认为只有当这两座高楼高度相等时，才会让城市变得美观。

球球把自己的想法告诉了市长。市长希望得知所有建设城市的方案数。两种方案不同，当且仅当某座高楼的高度在两个方案中不同。这个问题可难倒了球球。球球找到了你，希望你能帮他算出答案。由于答案可能很大，你只需要给出答案对 $998244353$ 取模后的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

仅一行四个整数 $m,n,x,y$ ，变量意义见题目描述。

输出格式

输出到标准输出。

仅一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 2 1 3

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

1000 1000 535 1477

样例输出 #2

295916566

提示

对于样例 $1$ ，所有的方案为： $\{1,1,1,1\},\{1,2,1,1\},\{1,3,1,1\},\{2,2,2,1\},\{2,2,2,2\},\\\{2,3,2,1\},\{2,3,2,2\},\{3,3,3,1\},\{3,3,3,2\},\{3,3,3,3\}$ 。

对于 $10\%$ 的数据， $1\le n,m\le 5$ 。

对于 $30\%$ 的数据， $1\le n,m\le 100$ 。

对于 $60\%$ 的数据， $1\le n,m\le 1000$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $1\le x < y \le 2n$ ， $1\le n,m \le 10^5$ 。

组合数学

#include <iostream> 
#include <cstdio>

#define int long long int

using namespace std;

const int maxn=200005;
const int mod=998244353;

int m,n,x,y;
int jc[maxn];

inline void init() {
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=m+n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
}

inline int power(int a,int b) {
	int ans=1;
	while (b) {
		if (b&1) ans*=a,ans%=mod;
		a*=a,a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int inv(int k) {
	return power(k,mod-2);
}

inline int C(int m,int n) {
    return ( (jc[m] * inv(jc[n]) % mod) * inv(jc[m-n]) ) % mod;
}

signed main() {
	cin >> m >> n >> x >> y;
	if (x>y) swap(x,y);
	init();
	int ans=0;
	if (x<=n && y>n) {
		y=2*n-y+1;
		for (int i=1;i<=m;i++) {
			int valx=i+x,valy=i+y;
			int tmp=1;
			tmp*=C(valx-2,x-1),tmp%=mod;
			tmp*=C(valy-2,y-1),tmp%=mod;
			tmp*=C(n+m-valx,n-x),tmp%=mod;
			tmp*=C(n+m-valy,n-y),tmp%=mod;
			ans+=tmp,ans%=mod;
		}
		printf("%lld",ans);
		return 0;
	}
	else {
		if (x>n) x-=n,y-=n;
		for (int i=1;i<=m;i++) {
			int valx=i+x,valy=i+y;
			int tmp=1;
			tmp*=C(valx-2,x-1),tmp%=mod;
			tmp*=C(n+m-valy,n-y),tmp%=mod;
			ans+=tmp,ans%=mod;
		} 
		ans*=C(n+m-1,n),ans%=mod;
		printf("%lld",ans);
		return 0;
	}
}

【组合数学】建设城市