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⭐️前面的话⭐️

大家好！本篇文章将以力扣平台3道关于幂数和1道关于完全平方数的题为背景，探索幂数与完全平方数的内心世界，展示代码语言暂时为：Java，C/C++。

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📆掘金首发时间：🌴2022年6月10日🌴
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⛄️Part1.幂数⛄️

⭐️2 的幂⭐️

🔐题目详情

给你一个整数 n，请你判断该整数是否是 2 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。 如果存在一个整数 x 使得 $n = 2^x$ ，则认为 n 是 2 的幂次方。

示例：

输入：n = 1
输出：true
解释：20 = 1
输入：n = 16
输出：true
解释：24 = 16
输入：n = 3
输出：false

提示： $n$的范围为整型$int$的范围。

来源：力扣（LeetCode）链接：
2 的幂

💡解题思路

利用$2$的幂的二进制序列中只有一个1并且大于0的性质，将此题转换为求二进制中1的个数，如果为1个，则该数为$2$的幂。

方法1： 以C语言为例，整型的储存形式是32位二进制序列，内存中储存的补码，对于正整数，二进制原码补码相同，对于负整数，补码是在原码除最高位取反得到反码的基础上加1。
最先想到的就是对输入的整数的二进制序列每一位进行判断是否是1。我们可以将这个二进制序列与1进行按位与运算，由于1的二进制序列只有末位是1，所以如果这个二进制序列的末位为1则返回1，否则返回0。然后我们再对这个二进制序列进行右移位操作，这样就能舍弃最右边的一个序列，经过32次操作，就能判断整个二进制序列有多少个1。

方法2： 假设输入的整数为n，我们不妨将n与n-1进行按位与运算，然后你会发现运算的结果与n相比，二进制序列中少了一个1，通俗来说，每进行一次这样的运算，二进制中的1就会减少一个，我们可以根据这种运算的特点来设计解法。我们可以将每次n&(n-1)的结果保存给n，直到n=0。计算进行运算的次数，即1的个数。

上面两种方法都可以求二进制序列中1的位数，本文采取方法2。

❓为什么$2的幂$的二进制序列只有一个1？

不妨设一个数的二进制序列为，其中$a,b,c,d$为0或1：
$abcd$
则所对应十进制数$x\ =\ d×2^0+c×2^1+b×2^2+a×2^3$
如果一个数为$2$的幂，则$a,b,c,d$中有且只有一个数为$1$其他均为$0$。
推广一下，对于32位，64位二进制也是如此。

🔑源代码

Java

//具体写
class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        int count = 0;
        if (n < 0){
            return false;
        }
        while (n != 0){
            n &= n - 1;
            count++;
        }
        if(count == 1){
            return true;
        }
        else{
            return false;
        }
    }
}

//简略写
class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        return n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0);
    }
}

C

bool isPowerOfTwo(int n){
    return n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0);
}

C++

class Solution {
public:
    bool isPowerOfTwo(int n) {
        return n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0);
    }
};

⭐️3 的幂⭐️

🔐题目详情

给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 3 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。 整数 n 是 3 的幂次方需满足：存在整数 x 使得 $n = 3^x$。

示例：

输入：n = 27
输出：true
输入：n = 45
输出：false

提示： $n$的范围为整型$int$的范围。

来源：力扣（LeetCode）链接：
3 的幂

💡解题思路

如果一个数是3的幂，那么这个数一直除3，第一次不能被除尽时，被除数一定为1。比如9，9/3=3,3/3=1，1不能被3除尽，此时被除数为1。如果一个数不是3的幂一直除3第一次不能除尽的被除数一定不是1。
换个说法，3的幂由因子3与1组成，所以不断除以3，最后得到的数一定是另一个因子1。

🔑源代码

Java

class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        if (n <= 0) {
            return false;
        }
        int m = n;
        while (m % 3 == 0) {
            m /= 3;
        }
        if (m == 1) {
            return true;
        }
        else {
            return false;
        }
    }
}

C

bool isPowerOfThree(int n){
    if (n <= 0) 
    {
        return 0;
    }
    int m = n;
    while(m % 3 == 0)
    {
        m /= 3;
    }
    if (m == 1) 
    {
        return true;
    }
    return false;
}

C++

class Solution {
public:
    bool isPowerOfThree(int n) {
        if (n <= 0) 
        {
            return 0;
        }
        int m = n;
        while(m % 3 == 0)
        {
            m /= 3;
        }
        if (m == 1) 
        {
            return true;
        }
        return false;
    }
};

⭐️4 的幂⭐️

🔐题目详情

给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。 整数 n 是 4 的幂次方需满足：存在整数 x 使得 $n = 4^x$。

示例：

输入：n = 16
输出：true
输入：n = 5
输出：false

提示： $n$的范围为整型$int$的范围。

来源：力扣（LeetCode）链接：
4 的幂

💡解题思路

一个大于0的数，该数的二进制只有一位是1且该数模3的结果为1，则该数为4的幂。

🔎推导： 由二项式定理：

$4^x = (3 + 1)^x = k_0×3^x×1^0 + k_1×3^{x-1}×1^1 + ... + k_x×3^0×1^x$

其中最末项系数$k_x~ =C_{x}^{x} = 1$，所以$4^x\ \%\ 3 = 1$。

4的幂一定也是2的幂，所以它的二进制中与2的幂一样只有一个1，一个数是2的幂但不是4的幂，同由二项式定理，该数模3结果一定是2：
$y=2^x = (3 - 1)^x = k_0×3^x×(-1)^0 + k_1×3^{x-1}×(-1)^1 + ... + k_x×3^0×(-1)^x$ 其中最末项系数$k_x~ =C_{x}^{x} = 1$。
x为偶数时，该数既是2的幂也是4的幂，此时$(-1)^x=1$，
$原式=k_0×3^x×(-1)^0 + k_1×3^{x-1}×(-1)^1 + ... + 1$
得到$y\%3=1$。
x为奇数时，该数是2的幂但不是4的幂，此时$(-1)^x=-1$，
$原式=k_0×3^x×(-1)^0 + k_1×3^{x-1}×(-1)^1 + ... - 1=k_0×3^x×(-1)^0 + k_1×3^{x-1}×(-1)^1 + ... - 3 + 2$

得到$y\%3=2$。 再加上4的幂和2的幂一样，二进制序列中只有一个1，所以可以得出结论： $一个大于0的数，该数的二进制只有一位是1且该数模3的结果为1，则该数为4的幂。$

🔑源代码

Java

class Solution {
    public boolean isPowerOfFour(int n) {
        return n > 0 && ((n &(n-1)) == 0) && n % 3 == 1;
    }
}

C

bool isPowerOfFour(int n){
    return n > 0 && ((n &(n-1)) == 0) && n % 3 == 1;
}

C++

class Solution {
public:
    bool isPowerOfFour(int n) {
        return n > 0 && ((n &(n-1)) == 0) && n % 3 == 1;
    }
};

⛄️Part2.完全平方数⛄️

⭐️完全平方数⭐️

🔐题目详情

给定一个 正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。 进阶：不要 使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例：

输入：num = 16
输出：true
输入：num = 14
输出：false

提示： $1 <= num <= 2^{31} - 1$

来源：力扣（LeetCode）链接：
完全平方数

💡解题思路

方法1：暴力遍历，注意溢出，不推荐。
方法2： 利用$1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n^2$公式计算。
方法3：二分查找，具体看代码。

🔑源代码

方法1：Java

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        for (int i = 1; (long)(i * i) <= (long)num && i <= num / 2 + 1; i++) {
            if (i * i == num) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

方法2：C

bool isPerfectSquare(int num){
    int i = 1;
    long sum = 0;
    while (sum <= num) {
        if (sum == num) {
            return true;
        }
        sum += i;
        i += 2;
    }
    return false;
}

方法3：Java

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int left = 1;
        int right = num;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            int div = num / mid;
            if (mid == div) {
                if (mid * div == num) {
                    return true;
                }
                left = mid + 1;
            }else if (mid > div) {
                right = mid - 1;
            }else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return false;
    }
}

🌱总结🌱

1. $2$的幂的二进制序列中只有一个1并且大于0。
2. $3$的幂由因子3与1组成，所以不断除以3，最后得到的数一定是另一个因子1。
3. 一个大于0的数，该数的二进制只有一位是1且该数模3的结果为1，则该数为$4$的幂。
4. 计算完全平方数公式：$1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n^2$