平衡二叉树平衡二叉搜索树是一种结构平衡的二叉搜索树，即叶节点高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树

平衡二叉搜索树是一种结构平衡的二叉搜索树，即叶节点高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。能在 $O(log_n)$ 内完成插入、查找和删除操作，最早被发明的平衡二叉搜索树为AVL树。

平衡因子

节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

最小不平衡子树

距离插入点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。

基本思想

在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因为插入而破坏了树的不平衡性，若是，则找到最小不平衡子树。在保持二叉排序特性的前提下，调整最小不平衡子树各结点之间的链接关系。进行相应的旋转,使其成为新的平衡子树。

结构

typdef struct BiTNode
{
 struct BiTree *lc;
 struct BiTree *rc;
 int bf;
 int data;

}BiTNode,*BiTree;

右旋操作

P作为右旋的根节点;
L的右子树成为了P的左子树;
P成为了L的右子树;
L替换了P成为二叉排序树新的根结点

void R_Rotate(BiTree *p) {
    BiTree L;
    L = (*p)->lc;
    (*p)->lc = L->rc;
    L->rc = (*p);
}

左旋操作

P作为左旋的根结点;
R的左子树成为了P的右子;
P成为了R的左子树;
R替换了P成为二叉排序树新的根结点。

void L_Rotate(BiTree *p) {
    BiTree R;
    R = (*p)->rc;
    (*p)->rc = R->lc;
    R->lc = (*p);
    *p = R;
}

左平衡树失衡处理

 void LeftBalance(BiTree *T) {
    BiTree L, Lr;
    L = (*T)->lc;
    switch (L->bf) {
    case LH:
        (*T)->bf = L->bf = EH;
        R_Rotate(T);
    case RH:
        Lr = L->rc;
        switch (Lr->bf) {
        case LH:
            (*)T->bf = RH;
            L->bf = EH;
            break;
        case EH:
            (*T)->bf = EH;
            L->bf = EH;
            break;
        case RH:
            (*T)->bf = EH;
            L->bf = LH;
            break;
        }
        Lr->bf = EH;
        L_Rotate(&((*T)->lc));
        R_Rotate(T);
    }
}

右平衡树失衡处理

 void RightBalance(BiTree *T) {
    BiTree R, Rl;
    // 1.R指向T的右子树根结点
    R = (*T)->rc;

    // 2. 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理
    switch (R->bf) {
    //① 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理
    case RH:
        (*T)->bf = R->bf = EH;
        L_Rotate(T);
        break;
    //新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理
    case LH:
        // Rl指向T的右孩子的左子树根
        Rl = R->lc;

        //修改T及其右孩子的平衡因子
        switch (Rl->bf) {
        case RH:
            (*T)->bf = LH;
            R->bf = EH;
            break;
        case EH:
            (*T)->bf = R->bf = EH;
            break;
        case LH:
            (*T)->bf = EH;
            R->bf = RH;
            break;
        }

        Rl->bf = EH;
        //对T的右子树作右旋平衡处理
        R_Rotate(&(*T)->rc);
        //对T作左旋平衡处理
        L_Rotate(T);
    }
}

平衡二叉树的插入

若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。

如果T为空时,则创建一个新结点;
如果T不为空,判断是否存在相同的结点.如果二叉树中存在相同结点,则不需要插入;
如果新结点值e小于T的根结点值,则在T的左子树查找;
- 如果能在左子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
- 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
- 如果平衡因子是1,则说明左子树高于右子树,那么需要调用leftBalance进行左平衡旋转处理;
- 如果为0或者-1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;

如果新结点值e大于T的根结点值,则在T的右子树查找;

如果能在右子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
如果平衡因子是-1,则说明右子树高于左子树,那么需要调用RightBalance进行右平衡旋转处理;

如果为0或者1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;

void InsertAVL(BiTree *T, int e, bool *taller) {
    if (!*T) { // 1.插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE
        //① 开辟一个新结点T;
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
        (*T)->data = e;
        (*T)->lc = (*T)->rchild = NULL;
        (*T)->bf = EH;
        //③ 新结点默认"长高"
        *taller = TRUE;
    } else {
        if (e == (*T)->data) { // 2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
            *taller = FALSE;
            return FALSE;
        }
        if (e < (*T)->data) {
            // 3.应继续在T的左子树中进行搜索
            if (!InsertAVL(&(*T)->lc, e, taller))
                //未插入
                return FALSE;

            // 4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
            if (*taller)
                // 5.检查T的平衡度
                switch ((*T)->bf) {
                case LH:
                    //原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
                    LeftBalance(T);
                    *taller = FALSE;
                    break;
                case EH:
                    //原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = TRUE;
                    break;
                case RH:
                    //原本右子树比左子树高，现左、右子树等高
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = FALSE;
                    break;
                }
        } else { // 6.应继续在T的右子树中进行搜索
            //未插入
            if (!InsertAVL(&(*T)->rc, e, taller))
                return FALSE;
            //已插入到T的右子树且右子树“长高”
            if (*taller)
                // 检查T的平衡度
                switch ((*T)->bf) {
                //原本左子树比右子树高，现左、右子树等高
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = FALSE;
                    break;
                //原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
                case EH:
                    (*T)->bf = RH;
                    *taller = TRUE;
                    break;
                // 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = FALSE;
                    break;
                }
        }
    }
    return TRUE;
}