前端算法第一七六弹-绝对差值和

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给你两个正整数数组 nums1 和 nums2 ，数组的长度都是 n 。

数组 nums1 和 nums2 的 绝对差值和 定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的 总和（下标从 0 开始）。

你可以选用 nums1 中的 任意一个 元素来替换 nums1 中的 至多 一个元素，以 最小化 绝对差值和。

在替换数组 nums1 中最多一个元素 之后 ，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 109 + 7 取余 后返回。

|x| 定义为：

• 如果 x >= 0 ，值为 x ，或者
• 如果 x <= 0 ，值为 -x

示例 1：

输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]
输出：3
解释：有两种可能的最优方案：
- 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者
- 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5]
两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3

示例 2：

输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]
输出：0
解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0

示例 3：

输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]
输出：20
解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20

排序 + 二分查找

本题中单个二元组 $\{\textit{nums}_1[i],\textit{nums}_2[i]\}$对答案的贡献为 $∣nums_1[i]−nums_2[i]∣$。假设我们用元素 $\textit{nums}_1[j]$ 替换了元素 $\textit{nums}_1[i]$，那么此时该二元组对答案的贡献为 $∣nums_1[j]−nums_2[i]∣$。改变前后的差值为：

$∣nums_1[i]−nums_2[i]∣−∣nums_1[j]−nums_2[i]∣$

我们希望能最大化该差值，这样可以使得答案尽可能小。因为我们只能修改一个位置，所以我们需要检查每一个 $i$ 对应的差值的最大值。当 $i$ 确定时，该式的前半部分的值即可确定，而后半部分的值取决于 $j$ 的选择。观察该式，我们只需要找到和 $\textit{nums}_2[i]$ 尽可能接近的 $\textit{nums}_1[j]$ 即可。

为了优化查找的时间复杂度，我们可以使用辅助数组 $\textit{rec}$ 记录 $\textit{nums}_1$ 中所有的元素并排序。这样我们就可以使用二分查找的方法快速找到 $\textit{nums}_1$ 数组中尽可能接近 $\textit{nums}_2[i]$ 的元素。需要注意的是，该元素既可能大于等于 $\textit{nums}_2[i]$，也可能小于 $\textit{nums}_2[i]$，因此我们需要各检查一次。

在实际代码中，我们使用 $\textit{sum}$ 记录所有的差值和，用 $\textit{max}$ 记录最大的改变前后的差值，这样答案即为 $\textit{sum}-\textit{max}$。

var minAbsoluteSumDiff = function (nums1, nums2) {
  const MOD = 1000000007
  const n = nums1.length
  const rec = [...nums1]
  rec.sort((a, b) => a - b)
  let sum = 0, max = 0
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const diff = Math.abs(nums1[i] - nums2[i])
    sum = (sum + diff) % MOD
    const j = binarySearch(rec, nums2[i])
    if (j < n) {
      max = Math.max(max, diff - (rec[j] - nums2[i]));
    }
    if (j > 0) {
      max = Math.max(max, diff - (nums2[i] - rec[j - 1]));
    }
  }
  return (sum - max + MOD) % MOD;
};
const binarySearch = (rec, target) => {
  let low = 0, high = rec.length - 1;
  if (rec[high] < target) {
    return high + 1;
  }
  while (low < high) {
    const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
    if (rec[mid] < target) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid;
    }
  }
  return low;
}