[数学：三点共线] 1037. 有效的回旋镖

Devil
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每日刷题 2022.06.08

题目

  • 给定一个数组 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 表示 X-Y 平面上的一个点，如果这些点构成一个 回旋镖 则返回 true 。
  • 回旋镖 定义为一组三个点，这些点 各不相同 且 不在一条直线上 。

示例

  • 示例1
输入： points = [[1,1],[2,3],[3,2]]
输出： true
  • 示例2
输入： points = [[1,1],[2,2],[3,3]]
输出： false

提示

  • points.length == 3
  • points[i].length == 2
  • 0 <= xi, yi <= 100

相似题目

  • 2280. 表示一个折线图的最少线段数
  • 这个题目的坑点：1.对于所有的节点需要进行排序，因为节点无序的话，就不能判断是否是连续的，可能会额外的计算线段数。2.求斜率的时候，存在精度的问题，因为数值比较大，精度会存在丢失的情况，那么就会导致两个斜率不同的判断成相同的。

解题思路

解决方法1

  • 可以将其转换成三点一线的做法，判断相邻的三个点是否在一条直线上，如果在一条直线上，就不需要新增线段数；反之就需要新增额外的线段数。（使用向量叉积的做法）

解决方法2

  • 如果乘积得到的数据也很大的话，会超出的，那么就可以使用GCD的做法。计算斜率时以元组的形式保留分子和分母的最简式。通过分别计算上一次以及这一次的x和y的最大公约数GCD，将x和y化为最简式后，进行比较是否相等即可，这样就可以避免精度的问题。
var minimumLines = function(stockPrices) {
  let s = stockPrices, n = s.length, sum = 0;
  if(n == 1) return sum;
  function gcd(x, y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);;
  }
  s.sort((a, b) => a[0] - b[0]);
  sum++;
  for(let i = 1; i < n - 1; i++) {
    let x = s[i][0] - s[i - 1][0], y = s[i][1] - s[i - 1][1];
    // 计算上一个x和y的最大公约数
    let k = gcd(x, y);
    x /= k, y /= k;
    let x1 = s[i + 1][0] - s[i][0], y1 = s[i + 1][1] - s[i][1];
    // 计算当前的x和y差值的最大公约数
    let k1 = gcd(x1, y1);
    x1 /= k1, y1 /= k1;
    // 比较两个化简后的分子、分母是否相等
    if(x == x1 && y == y1) continue;
    // 只有斜率不相等的时候，才需要++
    else sum++;
  }
  return sum;
};

本题的解题思路

  • 分析：需要三个点个不相同，并且不在一条直线上
  • 因此可以得到两个要求：各不相同、不在一条直线上
  • 既然是要求线段数，那么我们思考下，一共有n个数，那么就有n - 1个线段。

斜率做法

  • 计算两个点之间的线段的斜率，比较这次的斜率和上次的是否一致
  • 注意⚠️，除法的精度丢失和乘法的数据超出，必要的时候可以使用GCD来解决。
假设坐标：a(x1, y1) ,b(x2, y2) ,c(x3, y3)
(y1 - y2) / (x1 - x2) = (y2 - y3) / (x2 - x3) = k
转换成乘法：(y1 - y2) * (x2 - x3) = (x1 - x2) * (y2 - y3)
  • 最开始的时候，记上一轮的preX = 0, preY = 1, k = 1 / 0,因为对于每一个节点来说，其比较的过程中记录的是其相连的后面的那条边，那么对于第一个点来说，必须要res++（线段数+1）

向量做法

  • 因为有三个点，a,b,c
  • 几何原理：证明三点不共线，只需要从同一点出发到两个不同点的斜率不同即可。
  • 如果三个点共线的话，则向量ab与ac是平行的,因此(向量叉乘做法)： 
    假设坐标：a(x1, y1) ,b(x2, y2) ,c(x3, y3)
向量ab = ((x2 - x1), (y2 - y1))
向量ac = ((x3 - x1), (y3 - y1))
如果两直线平行，则:
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y1) / (x3 - x1)
因为除法会出现0的问题和精度问题，
因此转换成乘法计算，
即：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)
  • 因为向量做法，最终会停留在i = n - 2的位置上，跳出循环，那么此时还存在一条边没有判断。假设跳出的时候，三点是在一条直线上的，那么最后的这条边需要记录；反之，如果跳出的时候，三点不是在一条直线上的，那么最后这个是需要记录的
  • 因此不论三点在不在一条线上最后线段都需要+1，也可以反向思维，初始化线段数为n - 1，这样只需要碰到在一条直线上的减去一个线段数即可。

面积做法

  • 三点如果共线的话，那么组成的三角形面积为0；反之，面积不为0
  • 已知三个点的坐标，求解三角形的面积公式如下：需要牢记)
S = 1 / 2 * [(x1y2 - x2y1)+ (x2y3 - x3y2) + (x3y1 - x1y3)]

AC代码

/**
 * @param {number[][]} points
 * @return {boolean}
 */
var isBoomerang = function(points) {
  // 计算三个点之间的斜率
  const p = points;
  return (p[1][1] - p[0][1]) * (p[2][0] - p[1][0]) != (p[2][1] - p[1][1]) * (p[1][0] - p[0][0]);
};
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