图的应用-拓扑排序与关键路径求解在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样有向图为顶点表

AOV网

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样有向图为顶点表示活动的网，我们称为 AOV 网。

如果此网中的全部顶点被输出，则说明它不存在环（回路的）AOV 网；如果输出的顶点不全，则说明存在环（回路）AOV 网;

拓扑排序

在 AOV 网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列。由AOV 网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序。

AOV 网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

执行步骤

从 AOV 网中选择一个入度为 0 的顶点输出；
删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧
继续重复此步骤。

代码分析

创建一个数据结构栈，来帮助我们解决避免每次查找时都要去遍历 AOV 网中的顶点表查找有没有入度为0的顶点.

创建一个栈，用来存储入度 in 为0的顶点序号；
遍历 AOV 图中顶点表，判断入度 in为 0 的顶点全部入栈；
遍历 stack 栈，输出栈顶
循环针对栈顶顶点 $V_k$ 对应的弧链表进行遍历
找到顶点 $V_k$ 链接的其他顶点，并将其入度减一，将 $V_k$ 删除

代码实现

顶点结构

入度	数据域	边表头指针
`in`	`data`	`EdgeNode`

//边表结点
typedef struct EdgeNode {
    //邻接点域，存储该顶点对应的下标
    int adjvex;
    //用于存储权值，对于非网图可以不需要
    int weight;
    //链域，指向下一个邻接点
    struct EdgeNode *next;
} EdgeNode;

//顶点表结点
typedef struct VertexNode {
    //顶点入度
    int in;
    //顶点域，存储顶点信息
    int data;
    //边表头指针
    EdgeNode *firstedge;
} VertexNode, AdjList[MAXVEX];

//图结构
typedef struct {
    AdjList adjList;
    //图中当前顶点数和边数
    int numVertexes, numEdges;
} graphAdjList, *GraphAdjList;

拓扑排序实现

int TopologicalSort(GraphAdjList GL) {
    EdgeNode *e;
    int i, k, gettop;
    int top = 0;
    int count = 0;

    int *stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));

    //遍历邻接表->顶点表
    for (int i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
        if (GL->adjlist[i].in == 0) {
            stack[++top] = i;
        }
    }
    while (top != 0) {

        gettop = stack[top--];

        printf("%d -> ", GL->adjlist[gettop].data);

        count++;

        for (e = GL->adjlist[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
            k = e->adj_vex_index;
            if (!(--GL->adjlist[k].in)) {
                stack[++top] = k;
            }
        }
    }

    printf("\n");

    if (count == GL->numVertexes) {
        return 1;
    }
    return 0;
}

关键路径

步骤

求事件最早发生时间 etv，从开始顶点 $v_0$ 出发，令 $etv[0] = 0$ ，按拓扑有序序列求其余各顶点的可能最早发生时间 etv 值， $etv[k]= max(etv[i] + len<V_i,v_k>)$

如果得到的拓朴有序序列中顶点的个数小于网中顶点个数 n，则说明网中有环，不能求出关键路径，算法结束。
求事件最晚发生时间 ltv，从完成顶点 $V_k$ 出发，令 $ltv[k] = etv[k]$ ，按逆拓扑有序求其余各顶点的允许的最晚发生时间 ltv 值， $ltv[k]= min(ltv[i] - len<V_k,v_i>)$
求解活动的最早开工时间 ete，活动的最晚开工时间 lte 并且判断 lte 与 ete 是否相等，相等则是关键活动;

关键路径代码实现

求事件最早发生时间etv

int TopologicalSort(GraphAdjList GL){

    EdgeNode *e;
    int i,k,gettop;
    //栈指针下标;
    int top = 0;
    //用于统计输出的顶点个数.作为拓扑排序是否存在回路的判断依据;
    int count = 0;
    //建栈,将入度in = 0的顶点入栈;
    int *stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));

    //遍历顶点表上入度in = 0 入栈
    for (i = 0; i < GL->numVertexes;i++) {
        if ( 0 == GL->adjList[i].in ) {
            stack[++top] = i;
        }
    }

    //* stack2 的栈指针下标
    top2 = 0;
    //* 初始化拓扑序列栈
    stack2 = (int *)malloc(sizeof(int) * GL->numVertexes);
    //* 事件最早发生时间数组
    etv = (int *)malloc(sizeof(GL->numVertexes * sizeof(int)));
    //* 初始化etv 数组
    for (i = 0 ; i < GL->numVertexes; i++) {
        //初始化
        etv[i] = 0;
    }

    printf("TopologicSort:\t");
    while (top != 0) {
        gettop = stack[top--];
        printf("%d -> ", GL->adjList[gettop].data);
        count++;

        //将弹出的顶点序号压入拓扑排序的栈中;
        stack2[++top2] = gettop;

        for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)
        {
            k = e->adjvex;

            //将i顶点连接的邻接顶点入度减1,如果入度减一后为0,则入栈
            if(!(--GL->adjList[k].in))
                stack[++top] = k;
            //求各顶点事件的最早发生的时间etv值
            if ((etv[gettop] + e->weight) > etv[k]) {
                etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
            }
        }

    }
    printf("\n");
    if(count < GL->numVertexes)
        return 0;
    else
        return 1;
    return 1;
}

求关键路径

void CriticalPath(GraphAdjList GL){
    EdgeNode *e;
    int i,gettop,k,j;

    //声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量;
    int ete,lte;

    //求得拓扑序列,计算etv数组以及stack2的值
    TopologicalSort(GL);

    //打印etv数组(事件最早发生时间)
    printf("etv:\n");
    for(i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
        printf("etv[%d] = %d \n",i,etv[i]);
    printf("\n");

    //事件最晚发生时间数组
    ltv = (int *)malloc(sizeof(int) * GL->numVertexes);

    //初始化ltv数组
    for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
        //初始化ltv数组. 赋值etv最后一个事件的值
        ltv[i] = etv[GL->numVertexes-1];
        //printf("ltv[%d] = %d\n",i,ltv[i]);
    }

    //计算ltv(事件最晚发生时间) 出栈求ltv
    while (top2 != 0) {

        //出栈(栈顶元素)
        gettop = stack2[top2--];

        //找到与栈顶元素连接的顶点; 例如V0是与V1和V2连接
        for (e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
            //获取与gettop 相连接的顶点
            k = e->adjvex;
            //计算min(ltv[k]-e->weight,ltv[gettop])
            if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop]) {
                //更新ltv 数组
                ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
            }
        }
    }

    //打印ltv 数组
    printf("ltv:\n");
    for (i = 0 ; i < GL->numVertexes; i++) {
        printf("ltv[%d] = %d \n",i,ltv[i]);
    }

    printf("\n");
    //求解ete,lte 并且判断lte与ete 是否相等.相等则是关键活动;
    //2层循环(遍历顶点表,边表)
    for(j=0; j<GL->numVertexes;j++)
    {
        for (e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next) {
            //获取与j连接的顶点;
            k = e->adjvex;
            //ete 就是表示活动 <Vk, Vj> 的最早开工时间, 是针对这条弧来说的.而这条弧的弧尾顶点Vk 的事件发生了, 它才可以发生. 因此ete = etv[k];
            ete = etv[j];
            //lte 表示活动<Vk, Vj> 的最晚开工时间, 但此活动再晚也不能等Vj 事件发生才开始,而是必须在Vj 事件之前发生. 所以lte = ltv[j] - len<Vk, Vj>.
            lte = ltv[k]-e->weight;
            //如果ete == lte 则输出j,k以及权值;
            if (ete == lte) {
                printf("<%d-%d> length:%d\n",GL->adjList[j].data, GL->adjList[k].data, e->weight);
            }
        }
    }

}

图的应用-拓扑排序与关键路径求解