ODE

1st ODE(化成dy/dx or ...dy+...dx=0)

$\frac{dy}{dx}=g(x)f(y)$

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ , 设一个新变量， $z=y/x;y=zx;y'=z'x+z$ 代入上式

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 刚好是某个二元函数的全微分

用 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ 判断

sol: Easy to get it's exact, 先对dx积分（一边一边地处理）

$f=\int e^y \mathrm{d}x+g(y)=xe^y+g(y)$

$\frac{\partial f}{\partial y}=xe^y+g'(y)$

$g'(y)=2y, g(y)=y^2+C$

So $f=xe^y+y^2+C$ $\ Q.E.D.$

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ , 两边同×一个integrating factor，变成exact

if $\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=g(x)$ , then $\mu=e^{\int g(x)\mathrm{d}x}$

if $\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{-M}=h(y)$ , then $\mu=e^{\int h(y)\mathrm{d}x}$

$y'+p(x)y=q(x)$

两边同乘 $e^{\int p \mathrm{d}x}$

Set $y'=p$ , $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p$ (想办法不要让x存在，这样只有p y两个量)

$\frac{dp}{dy}p+k^2y=0$

$p\mathrm{d}p=-k^2y\mathrm{d}y$

用拉普拉斯求偏微分方程的时候，注意是对时间(t)变换
用separation variable的时候，比值可以是 $-p^2$ or $-\lambda$ ，取决于得到的ODE的形式， $y=\rho Y$ 可以用来代换；得到ODE的解的时候，思考一下函数趋于0 or 无穷的情况，可以简化系数