【动态规划】凸多边形的最优三角剖分问题

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

2021年上半年软考软件设计师下午的算法题，区间dp问题。

问题描述：求N个顶点（1~N）的多边形的最优三角剖分问题，最优：剖分后各三角形边权和的总和最小 dp[i][j]:表示第i-1个顶点到第j个顶点的最优三角剖分问题 weight[i][j]:表示顶点i到顶点j的边的权值 s[i][j]:记录Vi-1到Vj最优三角剖分的中间点K 状态方程：dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]}

#include <stdio.h>
#define N 6        //顶点数/边数
const int INF=0x3f3f3f3f;
//凸多边形三角划分问题
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},
{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};

int t[N][N];    //t[i][j]表示多边形{Vi-1VkVj}的最优权值
int s[N][N];    //s[i][j]记录Vi-1到Vj最优三角剖分的中间点K
//计算三角形的边权和
int get_weight(const int a, const int b, const int c)
{
    return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[c][a];
}
//核心部分
void minest_weight_val()
{
    int i,r,k,j;
    int min;

    for (i = 1; i < N; i++)
    {
        t[i][i] = 0;
    }

    for (r = 2; r <= N; r++)//层数
    {
        for (i = 1; i <= N-r+1; i++)//起点
        {
            j = i + r -1;//终点
            min = INF;        //假设最小值
            for (k = i; k < j; k++)
            {
                t[i][j] = t[i][k] + t[k+1][j] + get_weight(i-1,k,j);
                if (t[i][j] < min)        //判断是否是最小值
                {
                    min = t[i][j];
                    s[i][j] = k;
                }
            }
            t[i][j] = min;        //取得多边形{Vi-1，Vj}的划分三角最小权值
        }
    }
}

void back_track(int a, int b)
{
    if (a == b) return;
    back_track(a,s[a][b]);
    back_track(s[a][b]+1,b);    //记得这是要加一
    printf("最优三角: V%d V%d V%d.\n",a-1,s[a][b],b);
}

int main()
{
    minest_weight_val();
    printf("result:%d\n",t[1][N-1]);
    back_track(1,5);
    return 0;
}

时间复杂度：O（n^3^）,空间复杂度O（n^2^）