LeetCode探索（82）：829-连续整数求和

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题目

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

提示:

• 1 <= n <= 10^9

思考

本题难度困难。

首先是读懂题意。给定一个正整数 n，我们返回连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数。 需要注意的是这里是连续正整数，且正整数 n 本身就是符合要求的一个答案。

我们试着分析题目。对于连续正整数，符合等差数列的定义，假设首项为 a，项数为 k，和为 n，那么

(a + a + k - 1) * k / 2 = n => (2a + k - 1) * k = 2n (1)

2a = 2n / k - k + 1 >= 2 ==> 2n / k >= k + 1 ==> 2n / k > k (2)

由(1)和(2)可知，k 是 2n 的约数，并且为较小的约数。

因此我们可以在$[1, \sqrt{2n})$范围内枚举 k，如果 k 为 2n 约数，并且结合 (1) ，说明找到了一组合法的 (a, k)，对答案进行累加。

解答

方法一：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var consecutiveNumbersSum = function(n) {
  let ans = 0
  n *= 2 // n为2n
  // 在 [1, (2n)^1/2) 范围内枚举 k
  for (let k = 1; k * k < n; k++) {
    // k 是 2n 的约数，并且为较小的约数
    if (n % k !== 0) {
      continue
    }
    // 判断条件
    if ((n / k - k + 1) % 2 === 0) {
      ans++
    }
  }
  return ans
}

// 执行用时：52 ms, 在所有 JavaScript 提交中击败了98.00%的用户
// 内存消耗：40.9 MB, 在所有 JavaScript 提交中击败了82.00%的用户
// 通过测试用例：170 / 170

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(\sqrt{2n})。$
• 空间复杂度：O(1)。

参考

• 连续整数求和