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手动实现感知机

读入数据并进行归一化

def load_data():
    # 从文件导入数据
    datafile = './work/housing.data'
    data = np.fromfile(datafile, sep=' ')

    # 每条数据包括14项，其中前面13项是影响因素，第14项是相应的房屋价格中位数
    feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE', \
                      'DIS', 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
    feature_num = len(feature_names)

    # 将原始数据进行Reshape，变成[N, 14]这样的形状
    data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])

    # 将原数据集拆分成训练集和测试集
    # 这里使用80%的数据做训练，20%的数据做测试
    # 测试集和训练集必须是没有交集的
    ratio = 0.8
    offset = int(data.shape[0] * ratio)
    training_data = data[:offset]

    # 计算训练集的最大值，最小值，平均值
    maximums, minimums, avgs = training_data.max(axis=0), training_data.min(axis=0), \
                                 training_data.sum(axis=0) / training_data.shape[0]

    # 对数据进行归一化处理
    for i in range(feature_num):
        #print(maximums[i], minimums[i], avgs[i])
        data[:, i] = (data[:, i] - minimums[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

    # 训练集和测试集的划分比例
    training_data = data[:offset]
    test_data = data[offset:]
    return training_data, test_data

在这里我们采用的是波士顿房价的数据集，我们在读出数据集之后首先按照ratio对数据集进行划分，然后进行归一化

由于数据中不同的特征具有不同的取值范围，会导致每个权值对应的合适的学习率不同，归一化的目的是使得所有的权值都可以使用相同的学习率

模型类及调用

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        #np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        num_samples = error.shape[0]
        cost = error * error
        cost = np.sum(cost) / num_samples
        return cost
    
    def gradient(self, x, y):
        z = self.forward(x)
        N = x.shape[0]
        gradient_w = 1. / N * np.sum((z-y) * x, axis=0)
        gradient_w = gradient_w[:, np.newaxis]
        gradient_b = 1. / N * np.sum(z-y)
        return gradient_w, gradient_b
    
    def update(self, gradient_w, gradient_b, eta = 0.01):
        self.w = self.w - eta * gradient_w
        self.b = self.b - eta * gradient_b
            
                
    def train(self, training_data, num_epochs, batch_size=10, eta=0.01):
        n = len(training_data)
        losses = []
        for epoch_id in range(num_epochs):
            # 在每轮迭代开始之前，将训练数据的顺序随机打乱
            # 然后再按每次取batch_size条数据的方式取出
            np.random.shuffle(training_data)
            # 将训练数据进行拆分，每个mini_batch包含batch_size条的数据
            mini_batches = [training_data[k:k+batch_size] for k in range(0, n, batch_size)]
            for iter_id, mini_batch in enumerate(mini_batches):
                #print(self.w.shape)
                #print(self.b)
                x = mini_batch[:, :-1]
                y = mini_batch[:, -1:]
                a = self.forward(x)
                loss = self.loss(a, y)
                gradient_w, gradient_b = self.gradient(x, y)
                self.update(gradient_w, gradient_b, eta)
                losses.append(loss)
                print('Epoch {:3d} / iter {:3d}, loss = {:.4f}'.
                                 format(epoch_id, iter_id, loss))
        
        return losses

# 获取数据
train_data, test_data = load_data()

# 创建网络
net = Network(13)
# 启动训练
losses = net.train(train_data, num_epochs=50, batch_size=100, eta=0.1)

# 画出损失函数的变化趋势
plot_x = np.arange(len(losses))
plot_y = np.array(losses)
plt.plot(plot_x, plot_y)
plt.show()

梯度公式推导

前提

我们要想让模型达到一个很好的结果实际上是想让模型的损失最小，训练模型的过程事实上就是一个寻找损失函数最小值的过程

假设损失函数为L，权值为 ω，偏置为b，预测结果为y，标签为t

设损失函数为：

预测值为： $y_i = \sum_{j=0}^nx_i^j \cdot \omega_j + b;$ 偏导数： $\frac{\partial L}{\partial \omega_j} = \sum_{i=1}^N(y_i - t_i ) \frac{\partial y_i}{\partial \omega_j}=\sum_{i=1}^N(y_i-t_i) x_i^j;$ $\frac{\partial L}{\partial b} = \sum_{i=1}^N(y_i - t_i ) \frac{\partial y_i}{\partial b}=\sum_{i=1}^N(y_i-t_i)$

函数解释

init:首先初始化权值和偏置，初始时权值为随机值，偏置为0

forward:根据当前权值和偏置进行预测

loss:损失函数，用于计算损失

gradient:用于计算梯度

update:根据梯度更新权值和偏置

train:用于模型训练，即在一定轮次下不停的跟新权值和偏置

全连接层简介

全连接层又被称为密连接层，通常可以用Affine或Dense表示，一般来讲神经网络既可以完全由全连接层组成，又可以由其他层组成，但是一般最后一个层为全连接层。一个单个的全连接层与感知机相同。虽然感知机可以解决一部分的问题，但是感知机对于较为复杂的问题就显得力不从心了，所以我们需要用到多层感知机，即神经网络。此时的梯度下降就需要通过反向传递来实现了。

全连接层实现原理

正向传递

全连接层在正向传递时和感知机完全一致，都是直接将输入值乘以权值在加上偏置即可，这里尤为注意的是我们使用的是矩阵。公式非常简单 $y=x \cdot w + b$

反向传递

对于正向传递的表达式，我们可以将整个正向传递过程看成两步 $y1=x \cdot w; y=y1+b$ 这样我们就将问题转换成了乘法层和加法层的堆叠

$\frac{ \partial y}{\partial y1}=1$ $\frac{ \partial y}{\partial b}=1$ $\frac{ \partial y}{\partial y1}\frac{ \partial y1}{\partial x}=w$ $\frac{ \partial y}{\partial y1}\frac{ \partial y1}{\partial w}=x$ $\frac{ \partial y}{\partial b}=1$ 根据链式法则每个偏导都应该乘以下一层传来的偏导数值，本文代码用dout表示，故 $\frac{ \partial L}{\partial y}\frac{ \partial y}{\partial y1}\frac{ \partial y1}{\partial x}=\frac{ \partial L}{\partial y} \cdot w$ $\frac{ \partial L}{\partial y}\frac{ \partial y}{\partial y1}\frac{ \partial y1}{\partial w}=\frac{ \partial L}{\partial y} \cdot x$ $\frac{ \partial L}{\partial y}\frac{ \partial y}{\partial b}=\frac{ \partial L}{\partial y} \cdot 1$

代码实现

class Affine:
    def __init__(self, W, b):
        self.W =W
        self.b = b
        
        self.x = None
        self.original_x_shape = None
        # 权重和偏置参数的导数
        self.dW = None
        self.db = None

    def forward(self, x):
        # 对应张量
        self.original_x_shape = x.shape
        x = x.reshape(x.shape[0], -1)
        self.x = x

        out = np.dot(self.x, self.W) + self.b

        return out

    def backward(self, dout):
        dx = np.dot(dout, self.W.T)
        self.dW = np.dot(self.x.T, dout)
        self.db = np.sum(dout, axis=0)
        
        dx = dx.reshape(self.original_x_shape)  # 还原输入数据的形状（对应张量）
        return dx