每日一题做题记录，参考官方和三叶的题解

题目要求

思路：数论

• 连续段之和得到$n$，那么可以找到一个长度为$k$的连续段，其首项为$a$，三者之间满足一些关系以构成答案。
  • 具体来说，由等差数列求和公式得$\frac{(a+a+k-1)\times k}{2}=n$
  • 变换可得，$2a=\frac{2n}{k}-k+1\ge 2$
  • 也就是说，$\frac{2n}{k}\ge k+1\Leftrightarrow \frac{2n}{k}\gt k$
  • 即$k$必然是$2n$的约数，且是较小的那一方，所以枚举$k$并判断等差数列和即可。

Java

class Solution {
    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        int res = 0;
        n *= 2;
        for(int k = 1; k * k < n; k++) {
            if(n % k != 0)
                continue;
            if((n / k - (k - 1)) % 2 == 0)
                res++;
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\sqrt{2n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

C++

class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int n) {
        int res = 0;
        n *= 2;
        for(int k = 1; k * k < n; k++) {
            if(n % k != 0)
                continue;
            if((n / k - (k - 1)) % 2 == 0)
                res++;
        }
        return res;
    }
};

• 时间复杂度：$O(\sqrt{2n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

Rust

• 换了一个复杂度更低的高赞方式；

• 1个数时，必然有一个数可构成N
• 2个数若要构成N，第2个数与第1个数差为1，N减掉这个1能整除2则能由商与商+1构成N
• 3个数若要构成N，第2个数与第1个数差为1，第3个数与第1个数的差为2，N减掉1再减掉2能整除3则能由商、商+1与商+2构成N
• 以此类推，当商即第1个数小于等于0时结束

impl Solution {
    pub fn consecutive_numbers_sum(n: i32) -> i32 {
        let mut res = 0;
        let mut k = 1;
        let mut n = n;
        while n > 0 {
            n -= k;
            if n % k == 0 {
                res += 1;
            }
            k += 1;
        }
        res
    }
}

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

总结

数学理论分析更重要的题。

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