专栏 —— 算法Trick

番外更新一些面试或刷题时可能会用到的小算法，小技巧，脑筋急转弯。是一些你知道就能更快更优雅，不知道就会很伤脑筋的小知识。

一、四平方和定理

对整数的平方分解是一道颇有难度的算法题，一般考察点是动态规划。即使使用动态规划，因为每确定一个数，都要在比它小的平方数中搜索，组合出该数，复杂度依然很高。但其实，已经证明任何一个正整数，至多被表示为四个正整数的平方和。并且，当且仅当n != 4^k * (8*m + 7)时，n可以被表示为至多三个正整数的平方和。因此，当 n = 4^k * (8*m + 7)时，只能被表示为四个正整数的平方和。

所以对于要将一个数表示为完全平方数的和的问题，可以分为下面四种情况进行计算：

该数为完全平方数
该数为完全平方和
该数满足n = 4^k * (8*m + 7)
不满足上面三种情况，只能被分成三个完全平方数的和

二、快速幂与快速乘法与HashMap容量确认

面试很有可能问到的题目，快速幂题目会限制你使用pow函数，快速乘法会限制你使用乘法符号。此时如何以对数复杂度计算结果呢？

以logn的复杂度计算pow(x, n)。将n转化为二进制数，每一位i上都计算出x^i的值，如果该位为1，则将其乘入到结果中。代码如下：

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(x == 0.0f) return 0.0d;
        long b = n;
        double res = 1.0;
        if(b < 0) {
            x = 1 / x;
            b = -b;
        }
        while(b > 0) {
            if((b & 1) == 1) res *= x;
            x *= x;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
}

快速乘法与上面的快速幂类似，不过是res从累乘变成了累加。

long mul(long a, long k) {
    long ans = 0;
    while (k > 0) {
        if ((k & 1) == 1) ans += a;
        k >>= 1;
        a += a;
    }
    return ans;
}

Java8 中，HashMap确定容量的算法也有这种思想：

为了HashMap散列的方便，一般HashMap的容量都是二次幂，但用户传入的时候可能并不遵守这一规则，下面的函数会找到第一个比传入值大的二次幂数。

static final int tableSizeFor(int cap) { 
    int n = cap - 1; //为了防止本来就是二次幂的容量翻倍
    n |= n >>> 1; 
    n |= n >>> 2; 
    n |= n >>> 4; 
    n |= n >>> 8; 
    n |= n >>> 16; 
    return (n < 0) ? 1 : (n >= MAXIMUM_CAPACITY) ? MAXIMUM_CAPACITY : n + 1;
    }

在上面的移位操作中，第一次前2位被置为1，用上一步的结果作为计算工具。然后是4位，8位，成倍地将容量化为一个二进制全为1的数，是不是和快速幂很像。

【番外】刷题、面试可能用到的小算法（2）

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一、四平方和定理

二、快速幂与快速乘法与HashMap容量确认