归并排序

归并排序核心思想：

确定分界点：mid = l + r >> 1，分界点将数组分为left和right两边;
递归处理left和right，left的范围是:[l, mid], right的范围是:[mid + 1, r]
归并--将left和right合二为一

归并的含义是将两个或两个以上的有序表组成一个新的有序表。

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];//temp是临时用来存放
        else tmp[k++] = q[j++];
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

归并排序的时间效率：每趟归并排序的时间复杂度是 $O(n)$ ,共需进行 $logn$ 趟排序，所以时间复杂度为： $O(nlogn)$

逆序对的数量

给定一个长度为 n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。逆序对的定义如下：对于数列的第 ii 个和第 jj 个元素，如果满足 i<j且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。
本题可以使用归并排序的思想解决，将数组从中间mid分为左右两个数组left和right，可以将情况分为三种情况：1.逆序对产生在左边数组 2.逆序对产生在右边数组 3.逆序对中第一个元素在左边，第二个元素在右边。mid = l + r >> 1,left的范围为[l, mid],right的范围为[mid + 1, r]。其实说是分为三种情况，其实统计逆序对的数量一直使用的第三种情况计算个数。

long long merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return 0;
    
    int mid = (l + r) >> 1;
    long long num = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    
    while(i <= mid && j <= r)//#1
    {
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else
        {
            num += mid - i + 1;//#2
            tmp[k++] = q[j++];
        }
    }
    
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) q[i] = tmp[j];
    
    return num;
}

代码解释：
#1对于这整个while循环，一边是在进行归并操作，一边是在进行逆序对个数统计操作，因为关于归并的部分已经在归并中解释过，此时只解释统计部分，当q[i]和q[j]经行比较时，q[i] <= q[j],此时不满足逆序对的规则，所以i++,当发现q[i] > q[j]时，满足逆序对的规则，此时统计逆序对个数，然后执行j++，假设为j1，j++后i并没有发生变化，如果此时也满足条件，也可以用#2求出个数，不会有重复情况，因为此时逆序对的第二个元素变为j1，逆序对与第二个元素为j时不同
#2是指当发现q[i] > q[j]时，此时i < j（因为i在左半边数组，j在右半边数组），满足逆序对的条件，而且因为同时在执行归并排序，所以左半边数组，和右半边数组分别有序，那么q[j] < q[i] < q[i + 1] < q[i + 1]...<q[mid],那么左半边序列与q[j]组成的逆序对个数就是mid - i + 1.

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逆序对的数量