高斯消元法求逆矩阵文章目录一、问题引出二、原理 2.1 矩阵求逆原理 2.2 矩阵消元原理三、举例四、题目链接

文章目录一、问题引出二、原理 2.1 矩阵求逆原理 2.2 矩阵消元原理三、举例四、题目链接五、代码实现 5.1 整数逆元逆矩阵 5.2 浮点逆矩阵六、拓展：逆矩阵求法 6.1 LU分解法 6.2 SVD分解法 6.3 QR分解法一、问题引出给定一个 n × n n \times nn×n 的矩阵 A AA ，我们想求得一个矩阵 B BB 使得 ∣ A × B ∣ |A \times B|∣A×B∣ 即 A AA 矩阵和 B BB 矩阵的积矩阵的行列式为 1 11 ，那么这个 B BB 矩阵就是 A AA 矩阵的逆矩阵，或者说 A × B A \times BA×B 得到单位矩阵 E EE

二、原理 2.1 矩阵求逆原理我们先构造出一个 n × 2 n n\times 2nn×2n 的增广矩阵 ( A , I n ) (A,I_n)(A,I n ) 然后用高斯消元法将这个增广矩阵化为最简形式 ( I n , A − 1 ) (I_n,A^{-1})(I n ,A −1 ) ，此时的增广部分就是 A AA 矩阵的逆矩阵，如果最后简化的左半部分矩阵不是单位矩阵那么说明矩阵 A AA 不可逆 2.2 矩阵消元原理对于一个矩阵 A AA ，我们从第 1 11 行到第 n nn 行不断选取第 i ii 列不为 0 00 的行，然后做一个行变换（交换两行，使得当前的第 i ii 行的第 i ii 列不为0）然后将当前的第 i ii 行做一个初等变换，也就是都除以 A [ i ] [ i ] A[i][i]A[i][i] 这样的话就能让第 i ii 行第 i ii 列变为 1 11 将第 i ii 行下面的所有行的第 i ii 列全部消掉，此时就构成了一个上三角矩阵此时已经构成了一个阶梯型矩阵，我们再从下往上不断将上半矩阵同理消掉即可三、举例我们要求的 A AA 矩阵如下： [ 2 1 1 3 2 1 2 1 2 ] ⎣ ⎡

2 1 1 3 2 1 2 1 2

⎦ ⎤

我们构造出增广矩阵： [ 2 1 1 1 0 0 3 2 1 0 1 0 2 1 2 0 0 1 ] ⎣ ⎡

2 1 1 1 0 0 3 2 1 0 1 0 2 1 2 0 0 1

⎦ ⎤

开始行变换，消除下三角 [ 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 − 1 − 3 2 0 0 0 1 − 1 0 1 ] ⎣ ⎡

1 1/2 1/2 1/2 0 0 0 1 −1 −3 2 0 0 0 1 −1 0 1

⎦ ⎤

从下往上消除上三角形

[ 1 0 0 3 − 1 − 1 0 1 0 − 4 2 1 0 0 1 − 1 0 1 ] ⎣ ⎡

1 0 0 3 −1 −1 0 1 0 −4 2 1 0 0 1 −1 0 1

⎦ ⎤

四、题目链接 www.luogu.com.cn/problem/P47…

#include<bits/stdc++.h> #define re register #define il inline #define ll long long using namespace std;

il ll read(){ ll s=0,f=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar(); while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^'0'),c=getchar(); return f?-s:s; }

const int N=405,mod=1e9+7; int n; ll a[N][N<<1]; il ll qpow(ll x,ll k){ ll ans=1; while(k){ if(k&1) ans=ansx%mod; x=xx%mod; k>>=1; } return ans%mod; }

il void Gauss_j(){ for(re int i=1,r;i<=n;++i){ r=i; for(re int j=i+1;j<=n;++j) if(a[j][i]>a[r][i]) r=j; if(r!=i) swap(a[i],a[r]); if(!a[i][i]){puts("No Solution");return;}

	int kk=qpow(a[i][i],mod-2);	//求逆元 
	for(re int k=1;k<=n;++k){
		if(k==i) continue;
		int p=a[k][i]*kk%mod;
		for(re int j=i;j<=(n<<1);++j) 
			a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
	} 
	
	for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
	//更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里  
}	

for(re int i=1;i<=n;++i){
	for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
	printf("%lld\n",a[i][n<<1]);
}

} int main(){ n=read(); for(re int i=1;i<=n;++i) for(re int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;

Gauss_j();
return 0;

}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 5.2 浮点逆矩阵对于浮点逆矩阵那么直接用高斯消元的方式做就好了

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define mod 26 #define endl "\n" #define PII pair<int,int> #define INF 0x3f3f3f3f #define EPS 0.00001

const int N = 1e2+10; ll n; double a[N][N],b[N][N];

void output(double a[N][N],double b[N][N]){ //调试输出 cout<<"调试输出：左边为A矩阵，右边为B矩阵"<<endl; for(int i = 1;i <= n; ++i) { for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout<<a[i][j]<<"\t"; } for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout<<b[i][j]<<"\t\n"[j == n]; } } }

void guss(){ for(ll i = 1;i <= n; ++i) {//枚举当前处理到第几列 for(ll j = i;j <= n; ++j) {//找到一个第i列不为空的行 if(fabs(a[i][i]) > EPS) { for(ll k = i;k <= n; ++k) //交换i,j行 swap(a[i][k],a[j][k]); break; } } if(fabs(a[i][i]) < EPS) { cout<<"不存在逆矩阵"<<endl; return ; } //这里就是将第i行下面所有行的第i列清空，变成一个阶梯型的矩阵 double aii_inv = 1.0/a[i][i]; //将第i行都乘上a[i][i]的逆 a[i][i] = 1.0; for(ll j = i + 1;j <= n ; ++j) { a[i][j] = a[i][j] * aii_inv; } for(ll j = 1;j <= n; ++j) { b[i][j] = b[i][j] * aii_inv; } //将第i行下面的所有第i列的元素值清空 for(ll j = i + 1;j <= n; ++j) { for(ll k = i + 1;k <= n; ++k) { a[j][k] = a[j][k] - a[i][k] * a[j][i]; } for(ll k = 1;k <= n; ++k) { b[j][k] = b[j][k] - b[i][k] * a[j][i]; } a[j][i] = 0.0; } } output(a,b); //从下往上第推删除A矩阵第i列后的所有元素 for(int i = n; i >= 1; -- i) { for(int j = i - 1;j >= 1; --j) { for(int k = 1;k <= n; ++k) { //处理的是第i行和第j行的数据 b[j][k] = b[j][k] - a[j][i] * b[i][k]; } a[j][i] = 0.0; } } cout<<"A矩阵的逆矩阵："<<endl; //到了这里说明A矩阵已经变为单位矩阵了，此时的B矩阵就是A矩阵的逆矩阵了 for(int i = 1;i <= n; ++i) { for(int j = 1;j <= n; ++j) { cout<<b[i][j]<<"\t\n"[j == n]; } }

}

int main() { string s; cin>>n; for(int i = 1;i <= n; ++i) for(int j = 1;j <= n; ++j) { cin>>a[i][j]; b[i][j] = (i==j?1.0:0.0); } guss(); return 0; } /* A 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2

逆矩阵： 3 -1 -1 -4 2 1 -1 0 1 */ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 六、拓展：逆矩阵求法至于这一部分的资料，大家可以自行搜索噢

6.1 LU分解法 LU分解法其实是高斯消元法的一种变种算法。LU分解是将矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。所谓的三角阵就是一半为零的矩阵。L是下三角矩阵(Lower TriangularMatrix)，即主对角线以上的元素全部都是0的矩阵。U是上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)，即主对角线以下的元素全部都是0的矩阵。

A = L U A − 1 = U − 1 L − 1 A=LU \ A^{-1}=U^{-1}L^{-1} A=LU A −1 =U −1 L −1

6.2 SVD分解法 SingularValue Decomposition分解法也叫做奇异值分解，也是线性代数中十分重要的矩阵分解法，同样的能用来求解矩阵的逆矩阵。不同于LU分解中将矩阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，SVD分解将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，分别为：正交矩阵U、对角矩阵W以及正交矩阵V的转置矩阵V.

A = U W V T A − 1 = V W − 1 U T A=UWV^T \ A^{-1}=VW^{-1}U^T A=UWV T

A −1 =VW −1 U T

6.3 QR分解法 QR分解同样将原始矩阵A分解为两个矩阵的乘积，不同的是这两个矩阵分别为正交矩阵Q和上三角矩阵R。

A = Q R A − 1 = R − 1 Q − 1 A=QR \ A^{-1}=R^{-1}Q^{-1} A=QR A −1 =R −1 Q −1