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回溯算法将集合问题一网打尽

1. 子集

1.1 问题描述

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

1.2 要求

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

1.3 思路

每一个元素都面临着两种选择，选或者不选。index 作为添加递归层数的判断依据，如果 index === length 则说明子集的一种情况已经产生，将其加入 paths即可。求取子集问题，不需要任何剪枝！因为子集就是要遍历整棵树。

1.4 代码

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number[][]}
 */
var subsets = function(nums) {
  const length = nums.length;
  const paths = [];
​
  const backtracking = (index, path = []) => {
    if (index === length) {
      paths.push([...path]);
      return;
    }
​
    path.push(nums[index]);
    backtracking(index + 1, path);
​
    path.pop();
    backtracking(index + 1, path);
  }
​
  backtracking(0);
​
  return paths;
};

2. 子集 II

2.1 问题描述

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。

2.2 要求

示例 1：

输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

2.3 思路

如果你能理解上面的回溯法，那么包含重复元素的数组的子集，只不过一个小的改进。

比如说求 nums = [1,2,2] 的子集，那么对于子集 [1,2] 是选择了第一个 2，那么就不能再选第二个 2 来构成 [1,2] 了。所以，此时的改动点，就是先排序，每个元素 nums[i] 添加到 path 之前，判断一下 nums[i] 是否等于 nums[i - 1] ，如果相等就不添加到 path 中。

下面以[2,1,2,4,3]为例看看具体推导过程：

• 将数组排序，如[2,1,2,4,3]得排成[1,2,2,3,4]

• 第零层(特殊)：[]，剩余的子集为[1,2,2,3,4]，故开启新的一层

• 第一层(特殊元素为1)：

  • 先向下深搜，有[1],[1,2],[1,2,2],[1,2,2,3],[1,2,2,3,4]
  • 现在开始回溯并去除元素4([1,2,2,3])，但4后面没有元素了，故继续回溯
  • 现在开始回溯并去除元素3([1,2,2])，然后3后面有子集合[4]
  • 再对[4]进行分层，有一层且该层只有4，故有[1,2,2,4]
  • 现在开始回溯并去除元素2([1,2])，然后2后面有子集合[3,4]
  • 现在开始回溯并去除元素2([1,2])，然后2后面有子集合[3,4]
  • 现在开始回溯并去除元素2([1])，然后2后面有集合[2,3,4]，但因为求子集合不能有重复元素
  • 故子集合为[3,4]，故有[1,3],[1,3,4],[1,4]
  • 现在开始回溯并去除元素1([])，然后有子集合[2,2,3,4]，开启新的一层

• 第二层(特殊元素为2)：

  • 先向下深搜，有[2],[2,2],[2,2,3],[2,2,3,4]
  • 现在开始回溯并去除元素4([2,2,3])，但4后面没有元素了，故继续回溯
  • 现在开始回溯并去除元素3([2,2])，然后3后面有子集合[4]
  • 再对[4]进行分层，有一层且该层只有4，故有[2,2,4]
  • 现在开始回溯并去除元素2([2])，然后2后面有子集合[3,4]
  • 再对[3,4]进行分层，第一层为[3],[3,4]，第二层为[4]，故有[2,3],[2,3,4],[2,4]
  • 现在开始回溯并去除元素2([])，然后2后面有子集合[2,3,4]
  • 但是2重复了，故子集合为[3,4]，开启新的一层

• 后面也是以此类推

2.4 代码

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number[][]}
 */
var subsetsWithDup = function(nums) {
  const length = nums.length;
  const paths = [];
  nums.sort((a, b) => a - b);
​
  const backtracking = (index, path = []) => {
    paths.push([...path]);
​
    for(let i = index; i < length; i++) {
      if (i > index && nums[i] === nums[i - 1]) continue;
      path.push(nums[i]);
      backtracking(i + 1, path);
      path.pop();
    }
  }
​
  backtracking(0);
​
  return paths;
};