导数与微分

知识点

• 导数值与该点及其邻域有关
• $dy≈Δy$, $Δy多一个o(Δx)$

• $x_0$处可导能推出$x_0$处连续，但是推不出邻域连续，也推不出邻域可导

• 只有$x_0$点连续是能推出的

• 洛必达

• 可导 + 不可导 = 不可导

• 可以不单调

• 连乘连除时使用

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题型

• 使用三部曲
• 这个题只有一个点可导是不能用洛必达的（洛必达条件之一：去心邻域可导），而且也没说导函数在这点连续，用到后面是也会出错，参见李正元例2.6

• 相切：导数值相等，函数值相等

法二：举特例

• 有定义的点可用导数公式直接求（比如左半部分的求导），无定义的点可用定义求导数（比如右半部分的求导）

• 分段求导问题：李正元例2.13，2.14，2.15，2.31，2.32，2.36，2.37
• 注意区分三种方法的使用
• 注意个别题不是分段函数，但是导函数在某些点无定义，所以要单独求那个点的导数，比如：李正元例2.7（Ⅱ）

• 左右有别，左和右分别只能确定左右导数，左右导数存在且相等才能说有导数

• $1-cosh$只能趋近于$0^{+}$

• 后一个因子趋近于0，所以无法说明前一项（导数）存在

• $f(x)$在0处可以不连续

• 同时满足这两条的才行
• A不满足①，C不满足②

• 可导 + 可导 = 可导
• 可导 + 不可导 = 不可导

• 更广泛一点的结论：李正元例2.24，不一定是乘$|x - a|$，只要乘一个在该点连续且不可导的函数都有这个结论

• 李正元例2.25

• 参考李正元例2.22、2.23，函数与绝对值函数的可导性的关系

• 从几何意义来看，B项不妨令$f'(a)>0$，则有左半邻域内$f(x)<f(a)=0$，右半邻域内$f(x)>f(a)=0$，所以$|f(x)|$在这点会有尖点（利用前面讲的某个点导数大于0的结论）

• 开$n$次方的极限，等于根号下大的那个
• 偶函数

• 从几何意义上看，$x=1$处左右切线斜率分别为0, 3，所以有两个点不可导（偶函数图像对称）

• n阶导没说连不连续，洛必达只能用到$n-1$阶，对于本题如果$n$阶导不连续，那使用洛必达只能得出$lim_{x \to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{2x}=lim_{x \to 0}\frac{f''(x)}{2}$，由于不连续，所以无法得出最终的正确结果

• 函数值相等，导数值相等

• 求一次导，变一次奇偶性

• 复合函数求导法则

• 内外层都存在只是复合导存在的充分条件
• 内外只有一个存在，或者都不存在是不能断定复合导不存在的

• 经典的错误，标准的零分

• 不满足邻域内有定义（极限可以在该点无定义，但是要求邻域内有定义）

• 第一步注意加绝对值

• 观察归纳往往更简单

• 降次，然后带公式

• 李正元151和152页（$n!A_n$)
• 泰勒用来算具体点的高阶导数

• 要会写其他点的泰勒公式