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一、命题逻辑

1.1 命题

定义：用陈述句表示的一个或者为真或者为假，但不能同时既为真又为假的判断语句。

• 判断结果唯一的陈述句。
• 客观上存在唯一真值的陈述句。

命题的真值：判断的结果，真（T或1）或假（F或0） 真命题：真值为真的命题 假命题：真值为假的命题

序号	句子	是否为命题	解释
1	北京是中国的首都。	Y	真命题
2	2+3=6	Y	假命题
3	3-x=5	N	真值不确定
4	请关上门。	N	祈使句
5	几点了？	N	疑问句
6	除地球外的星球有生物。	Y	真值确定但未知
7	多漂亮的花啊！	N	感叹句
8	我只给所有不给自己理发的人理发。	N	悖论

命题的表示：表示命题的符号称为命题变量，通常用p、q、r…表示命题变量。命题变量没有真值，只有表示一个确定的命题后才有真值。

• 如用p表示命题“2+3=6”，这时p的真值为假（F）
• 用p表示命题“2+3=5”，这时p的真值为真（T）

1.2 连接词

简单命题（原子命题）：不能分解为更简单陈述语句的命题。

• 【例】“北京是中国的首都。”

复合命题：由两个或几个简单句和连词组合而成的命题。

• 【例】“如果明天天气好，我们就去爬山。”

命题的符号化：用英文字母或英文字母和连接词的组合表示命题，称为命题的符号化。

1.2.1 否定 $\neg$

定义：令 $p$ 为一命题，则 $p$ 的否定记作 $\neg p$，指“不是 $p$ 所指的所有情形”。命题 $\neg p$读作“非 $p$ ”。$p$ 的否定( $\neg p$ )的真值和 $p$ 的真值相反。

1.2.2 合取 $\land$

定义： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。$p、q$的合取即命题 “ $p$ 并且 $q$ ” ，记作 $p\land q$。当 $p$ 和 $q$ 都为真时，$p\land q$ 命题为真，否则为假。

1.2.3 析取 $\lor$

定义： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。$p、q$的析取即命题 “ $p$ 或 $q$ ” ，记作 $p\lor q$。当 $p$ 和 $q$ 都为假时，$p\lor q$ 命题为假，否则为真。

• 析取对应自然语言中的兼容或，如：“电灯不亮是灯泡或线路有问题导致的”。这句话意味着电灯不亮的原因可能是灯泡有问题，也可能是线路有问题，也可能是灯泡和线路都有问题。

1.2.4 异或 $\oplus$

定义： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。$p、q$ 的异或记作 $p\oplus q$：当 $p$ 和 $q$ 恰好有一个为真时，$p\oplus q$ 命题为真，否则为假。

• 异或对应自然语言中的不兼容或。如“她的梦想是成为一名老师或医生”。这句话的含义是，她的梦想是成为老师或医生其中之一，而不能即成为老师又成为医生。

1.2.5 条件语句（蕴含）$\rightarrow$

定义： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。条件语句$p\rightarrow q$是命题 “如果 $p$ ，则 $q$ ”。当 $p$为真而 $q$ 为假时，条件语句$p\rightarrow q$ 命题为假，否则为真。在条件语句$p\rightarrow q$中，$p$ 称为假设（前件、前提），$q$ 称为结论（后件）。

由于条件语句在数学推理中具有很重要的作用，所以表达 $p\rightarrow q$的术语也很多。以下列举几个常用的条件语句表述方法：

• “如果 $p$ ，则 $q$”
• “如果 $p$ ， $q$”
• “$p$ 是 $q$ 的充分条件”
• “$q$ 如果 $p$”
• “$q$ 当 $p$”
• “$p$ 的必要条件是 $q$”
• “$q$ 除非 $\neg p$”
• “$p$ 蕴含 $q$”
• “$p$ 仅当 $q$”
• “$q$ 的充分条件是 $p$”
• “$q$ 每当 $p$”
• “$q$ 是 $p$ 的必要条件”
• “$q$ 由 $p$得出”
• “$q$ 假定 $p$”

因为蕴含式“$p$ 蕴含 $q$ ”的众多表达方式中有些容易引起混淆，这里提供一些消除混淆的建议。记住“ $p$ 仅当 $q$ ”表达了与“如果 $p$，则 $q$ ”同样的意思。注意“ $p$ 仅当 $q$ ”说的是当$q$ 不为真时 $p$ 不能为真。也就是说，如果 $p$ 为真但 $q$ 为假，则这个语句为假。当 $p$为假时， $q$ 可以为真也可以为假，因为语句并没有谈及 $q$ 的真值。

1.2.6 等值式（双向蕴含）$\leftrightarrow$

定义： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。双条件语句$p\leftrightarrow q$是命题 “ $p$ 当且仅当 $q$ ”。当 $p$ 和 $q$ 有同样真值时，双条件语句$p\leftrightarrow q$ 命题为真，否则为假。双条件语句也称双向蕴含。

1.2.7 与非 $\uparrow$ 和或非 $\downarrow$

与非： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。$p、q$ 的与非记作 $p\uparrow q$：当 $p$ 和 $q$ 均为真时，$p\uparrow q$ 命题为假，否则为真。

或非： 令 $p$ 和 $q$ 为命题。$p、q$ 的或非记作 $p\downarrow q$：当 $p$ 和 $q$ 均为假时，$p\downarrow q$ 命题为真，否则为假。

表 7 与非或非的真值表

1.2.8 逻辑运算符的优先级

1.3 命题公式及其分类

1.3.1 命题公式

命题常元：代表特定的简单命题。 命题变元：代表任意命题，取值1或0的变量。

定义：命题公式的定义如下：

1. 每一个命题常元或命题变元都是命题公式。
2. 如果 $A$ 是命题公式，则 $\neg A$ 是命题公式。
3. 如果 $A$ 和 $B$ 是命题公式，则 $A\land B$, $A\lor B$, $A\rightarrow B$, $A\leftrightarrow B$都是命题公式。
4. 一个由命题常元或命题变元、连接词和括号组成的符号串是命题公式，当且仅当这个符号串是有限次应用上面的步骤得到的。

• 一个含有命题变元的命题公式的真值是不确定的。
• 只有当公式中的所有命题变元被指定代表特定的命题时，命题公式才成为命题，其真值才唯一确定。

1.3.2 命题公式的分类

定义：设 $A$ 为一个命题公式

1. 若 $A$ 在它的各种赋值下取值均为真，则称 $A$ 为永真式或重言式。
2. 若 $A$ 在它的各种赋值下取值均为假，则称 $A$ 为矛盾式或永假式。
3. 若至少存在一种赋值使 $A$ 的真值为真，则称 $A$ 为可满足式。

• 公式 $A$ 永真，则 $\neg A$ 永假，反之亦然。
• 公式 $A$ 是可满足的，当且仅当$\neg A$ 不是永真式。
• 公式 $A$ 不是可满足的，则一定是永假式。
• 公式 $A$ 不是永假式，则一定是可满足的。

1.4 等值演算

1.4.1 等价关系式

定义：如果 $p\to q$ 是永真式，则复合命题 $p$ 和 $q$ 是逻辑等价的。用记号 $p\equiv q$ 表示 $p$ 和 $q$ 是逻辑等价的。

表1.4.1 逻辑等价式

序号	名称	等价式
1	恒等律（同一律）	$p\land T\equiv p$ $p\lor F\equiv p$
2	支配律（零元律）	$p\land F\equiv F$ $p\lor T\equiv T$
3	双重否定律	$\neg (\neg p)\equiv p$
4	幂等律（等幂律）	$p\land p\equiv p$ $p\lor p\equiv p$
5	交换律	$p\land q\equiv q\land p$ $p\lor q\equiv q\lor p$
6	结合律	$(p\lor q)\lor r\equiv p\lor (q\lor r)$ $(p\land q)\land r\equiv p\land (q\land r)$
7	分配律	$p\lor (q\land r)\equiv (p\lor q)\land (p\lor r)$ $p\land (q\lor r)\equiv (p\land q)\lor (p\land r)$
8	德摩根律	$\neg (p\land q)\equiv \neg p\lor \neg q$ $\neg (p\lor q)\equiv \neg p\land \neg q$
9	吸收律	$p\land (p\lor q)\equiv p$ $p\lor (p\land q)\equiv p$
10	否定律	$p\lor \neg p\equiv T$（排中律） $p\land \neg p\equiv F$（矛盾律）

表1.4.2 条件命题的逻辑等价式

序号	等价式	注
1	$p\to q\equiv \neg p\lor q$	蕴含等值式
2	$p\to q\equiv \neg q\to \neg p$	假言易位
3	$p\lor q\equiv \neg p\to q$
4	$p\land q\equiv \neg(p\to \neg q)$
5	$\neg(p\to q)\equiv p\land \neg q$
6	$(p\to q)\land (p\to r)\equiv p\to (q\land r)$
7	$(p\to q)\lor (p\to r)\equiv p\to (q\lor r)$
8	$(p\to r)\land (q\to r)\equiv (p\lor q)\to r$
9	$(p\to r)\lor (q\to r)\equiv (p\land q)\to r$
10	$(p\to q)\land (p\to \neg q)\equiv \neg p$	归谬论

表1.4.3 双向条件命题的逻辑等价式

序号	等价式	注
1	$p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\land (q\to p)$	等价等值式
2	$p\leftrightarrow q\equiv \neg p\leftrightarrow \neg q$	等价否定等值式
3	$p\leftrightarrow q\equiv (p\land q)\lor (\neg p\land \neg q)$
4	$\neg (p\leftrightarrow q)\equiv p\leftrightarrow \neg q$

1.4.2 等价运算

置换规则：若公式 $G$ 中的一部分 $A$ （包含 $G$ 中几个连续的符号）是公式，称 $A$ 为 $G$ 的子公式；用与 $A$ 逻辑等价的公式 $B$ 置换 $A$ 不改变公式 $G$ 的真值。

利用已知的等价关系式，将其中的子公式用和它等价的公式置换，可以推出其它的一些等价关系式，这一过程称为命题的等价运算。利用命题的等价运算，可以：

• 判断两个命题是否等价
• 判断命题公式的类型
• 命题公式的化简
• ……

1.5 范式

1.5.1 析取范式与合取范式

析取范式：一个命题公式具有形式 $A_1\lor A_2\lor ....\lor A_n (n\ge 1)$，其中$A_1, A_2, ...., A_n$都是由命题变元或其否定所组成的合取式，则称该命题公式为析取范式。

合取范式：一个命题公式具有形式 $A_1\land A_2\land ....\land A_n (n\ge 1)$，其中$A_1, A_2, ...., A_n$都是由命题变元或其否定所组成的析取式，则称该命题公式为合取范式。

• 【例】$p\lor (p\land \neg q\land \neg r)\lor (\neg p\land q)\lor \neg q$是析取范式。
• 【例】$(p\lor \neg q\lor \neg r)\land(\neg p\lor q)\land \neg q$是合取范式。

范式存在定理：任何一个命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。

1.5.2 主析取范式与主合取范式

极小项：含有n个命题变元的合取式中，若每个命题变元与其否定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，这样的合取式成为极小项。

极大项：含有n个命题变元的析取式中，若每个命题变元与其否定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，这样的析取式成为极大项。

1. 由n个命题变元产生的不同的极大项和极小项的个数均为 $2^n$ 个。
2. 每个极小项在它的 $2^n$ 个赋值中只有一个成真赋值。
3. 每个极大项在它的 $2^n$ 个赋值中只有一个成假赋值。

一般地，n个命题变元形成的极小项可表示为：$m_0,m_1,...m_{2^n-1}$;n个命题变元形成的极大项可表示为：$M_1,M_2,...M_{2^n-1}$。

主析取范式：如果含有n个命题变元的命题公式的析取范式的每个合取式全是极小项，则称该析取范式为主析取范式。

主合取范式：如果含有n个命题变元的命题公式的合取范式的每个析取式全是极大项，则称该合取范式为主合取范式。

定理：任何命题公式的主析取范式与主合取范式都是存在的，并且唯一。

1.5.3 主析（合）取范式的用途

• 判断命题公式是否等价
• 求公式的成真赋值和成假赋值
• 判断公式的类型

1. $A$ 为永真式当且仅当 $A$ 的主析取范式含 $2^n$个极小项
2. $A$ 为矛盾式当且仅当 $A$ 的主析取范式不含任何极小项，记作0
3. $A$ 为可满足式当且仅当 $A$ 的主析取范式中至少含一个极小项

1. $A$ 为矛盾式当且仅当 $A$ 的主合取范式含 $2^n$个极大项
2. $A$ 为永真式当且仅当 $A$ 的主合取范式不含任何极大项，记作0
3. $A$ 为可满足式当且仅当 $A$ 的主合取范式不是包含全部 $2^n$ 个极大项

1.6 推理定理

定义：设 $A$ 和 $B$ 是两个命题公式，当且仅当命题$A\to B$是重言式（即 $A\to B\Leftrightarrow T$时），称从 $A$ 可推出 $B$ ，可以表示为 $A\Rightarrow B$。
一般地，推理的前提可以有多个，若$(A_1\land A_2\land ...\land A_n)\to B$是重言式，则称由前提 $A_1，A_2，...，A_n$可推出结论 $B$，可表示为$(A_1\land A_2\land ...\land A_n)\Rightarrow B$。

表1.6.1 推理定律

序号	公式	解释
1	$p\land q\Rightarrow p$ $p\land q\Rightarrow q$	化简
2	$p\Rightarrow p\lor q$ $q\Rightarrow p\lor q$	附加
3	$p,p\to q\Rightarrow q$	假言推理
4	$\neg q,p\to q\Rightarrow \neg p$	拒取式
5	$\neg p,p\lor q\Rightarrow q$	析取三段论
6	$p,q\Rightarrow p\land q$	合取
7	$p\to q,q\to r\Rightarrow p\to r$	假言三段论
8	$p\leftrightarrow q,q\leftrightarrow r\Rightarrow p\leftrightarrow r$	等价三段论
9	$p\to q,r\to s,p\lor r\Rightarrow q\lor s$	构造性二难
10	$p\lor q,\neg p\lor r\Rightarrow q\lor r$	归结式

CP规则：若 $H_1,H_2,...H_m$和 $P$ 推出 $Q$，则 $H_1,H_2,...,H_m$ 推出 $P\to Q$。

1.7 推理证明方法

1. 真值表法
2. 等价演算法
3. 演绎法
4. 间接推演法（归谬法）
5. 附加前提证明法
6. 归结证明法