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汉明码

1940年，汉明于贝尔实验室（Bell Labs）工作，运用贝尔模型V（Bell Model V）电脑，一个周期时间在几秒钟内的机电继电器机器。输入端是依靠打孔卡（Punched Card），这不免有些读取错误。在平日，特殊代码将发现错误并闪灯（flash lights），使得操作者能够纠正这个错误。在周末和下班期间，在没有操作者的情况下，机器只会简单地转移到下一个工作。汉明在周末工作，他对于不可靠的读卡机发生错误后，总是必须重新开始项目变得愈来愈沮丧。在接下来的几年中，他为了解决调试的问题，开发了功能日益强大的调试算法。在1950年，他发表了今日所称的汉明码。现在汉明码有着广泛的应用 百度词条

定义

设r是一个正整数,设H是一个r x (2^r^- 1)阶矩阵，其列向量由V(r，2)中所有不同的非零向量组成。以H为校验矩阵的线性码称为二元Hamming码,记为Ham(r，2)。

Ham(r,2)的码长n是2^r^-1，码的维数k为2^r^- 1- r。 例如：

性质

二元Hamming码Ham(r，2)是一个完备的2元【n，n-r，3】线性码，其中n=2^R^-1

• 最小距离d=3
• 完备码
• 汉明码能纠正1个错误的码

译码

Ham(r,q)的陪集个数是q^r^，并且Ham(r，q)是恰好可纠正一个错误的纠错码，陪集头的个数是q^r^-1个

q元汉明码Ham(r,q)的译码过程如下：

1. 计算S(x) = x H^T^
2. 计算S(x) = 0 ,则认为是正确的码字
3. 如果S(x) = b $H_i$^T^，则把x的第i个位置减b

例题1： 例题2：