【图形学】数学基础之向量（vector）

小南聊一聊
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基本概念

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向量：表示方向和长度

  • 向量的记号方法：a⃗=AB⃗=B−A\vec{a}=\vec{AB}=B - A，这里的AA和BB表示从原点（0，0）出发的向量
  • 直角坐标系中记作：A=(xy)A = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}，这里采用1*2矩阵的表示方式，方便
  • 向量的长度（magnitude） ：∥a⃗∥=x2+y2\left\lVert \vec{a} \right\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}

单位向量： 长度为1的向量，记作：a^=a⃗∥a⃗∥\widehat{a}= {\vec{a} \over \left\lVert \vec{a} \right\rVert}

向量运算 - 点乘（Dot Product）

a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cosθ=(xayaza)+(xbybzb)=xaxb+yayb+zazb\vec{a} \cdot \vec{b}= \left\lVert \vec{a} \right\rVert \left\lVert \vec{b} \right\rVert cos \theta = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b
a⃗⋅b⃗= a⃗Tb⃗= (xayaza)(xb yb zb)=(xaxbyaybzazb)\vec{a} \cdot \vec{b}= \vec{a} ^ T \vec{b}= \begin{pmatrix}x_a & y_a & z_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_ax_b & y_ay_b & z_az_b\end{pmatrix}

在图形学中应用：

  1. 寻找两个向量间的夹角（比如，光源和平面的夹角）
  2. 一个向量到另一个向量的投影
  3. 测量两个方向的接近程度
  4. 分解向量（方向）
  5. 确定 “前”“后”关系
  6. 用一个点和法线向量可以表示一个平面，通过投影知道是否在平面上

向量运算 - 叉乘（Cross Product）

运算：

a⃗×b⃗=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣sinθ=(yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb)=A∗b⃗=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)\vec{a} \times \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||sin\theta =\begin{pmatrix}y_az_b - y_bz_a \\z_ax_b - x_az_b \\x_ay_b - y_ax_b \end{pmatrix} =A^*\vec{b} =\begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}

其中，A∗=(0−zayaza0−xa−yaxa0)A^*= \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix}是 a⃗\vec{a} 的是对偶矩阵（dual matrix）

性质：

  1. a⃗×a⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}
  2. a⃗×(b⃗+c⃗) = a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} （结合律）
  3. (ka⃗)×b⃗ = a⃗×(ka⃗)=k×(a⃗×b⃗)(k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{a})=k \times (\vec{a} \times \vec{b}) （分配律）
  4. a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} （不满足交换律哦！）

在图形学中应用：

  1. 判断 “左”“右”，某个物体处于另一个物体的左边还是右边

    • A 叉乘 B，如果方向向上表示在右边；如果是方向向下，表示在左边

  2. 判断 “内”“外”，判断点是否在三角形的内部还是外部

    • 通过计算每个顶点到p的向量 和 三条边组成的向量的叉乘
      • 如果是同一方向 -> 在内部
      • 如果不是 -> 在外部

  3. 在任意位置构建正交坐标系（因为叉乘的结果是垂直于叉乘向量的向量），叉乘的结果是生成一个垂直于两个向量的向量，就好比知道垂直的 x-y 就知道 z 了

  4. 计算三角形法线：n⃗=AC⃗×AB⃗∣∣AC⃗×AB⃗∣∣\vec{n} = \frac{\vec{AC} \times \vec{AB}}{||\vec{AC} \times \vec{AB} ||}

  5. 计算三角形面积：St=12AB⃗×AC⃗S_t = \frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC}

  6. 计算四面体（四个顶点 A,B,C,DA,B,C,D）的体积：V=16BA⃗⋅CA⃗×DA⃗∣∣CA⃗×DA⃗∣∣V = \frac{1}{6} \vec{BA} \cdot \frac{\vec{CA} \times \vec{DA}}{||\vec{CA} \times \vec{DA}||}

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