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高等数学

1、 导数与微分

1.1 导数的概念

1.1.1 先思考两个问题：

1、如何计算非匀速直线运动的瞬时速度

2、如何计算曲线在某一点的切线

以上两个问题都需要极限思维来解决，都可以归结为如下的极限：

1.1.2 导数的定义

定义 设函数y=f(x)在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量x在$x_0$处取得增量$\Delta x$ （点$x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量$\Delta y=f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)$；如果$\Delta y$ 与$\Delta x$之比当$\Delta x \rightarrow 0$时的极限存在，那么称函数$y=f(x)$ 在点$x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$ ，即

1.1.3 导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$处 的导数 $f'(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点$M(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率，即

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 $y=f(x)$ 在点$M(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为

过切点$M(x_0,f(x_0))$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y=f(x)$ 在点$M(x_0,f(x_0))$ 处的法线。如果$f'(x_0) \neq 0$ ，法线的斜率为$- \frac{1}{f'(x_0)}$，从而法线方程为

1.1.4 函数可导性与连续性的关系

如果函数$y=f(x)$ 在$x$ 处可导，那么函数在该点必连续。反之则不一定成立，即函数连续不一定可导

1.2 函数的求导法则

1.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数$u=u(x)$ 及$v=v(x)$ 都在点$x$具有导数，那么他们的和、差、积、商（除分母为0的点外）都在点$x$ 具有导数，且

（1）$[u(x)\pm v(x) ]'=u'(x) \pm v'(x)$

（2）$[u(x) v(x)]'=u'(x)v(x) +u(x) v'(x)$

（3）$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ $\quad( v(x) \neq 0 )$

1.2.2 反函数的求导法则

定理2 如果函数$x=f(y)$ 在区间$I_y$ 内单调、可导且$f'(y) \neq 0$ ，那么它的反函数$y=f^{-1}(x)$ 在区间$I_x=\{x|x=f(y),y \in I_x\}$内也可导，且

1.2.3 复合函数的求导法则

定理3 如果$u=g(x)$ 在点$x$可导，而$y=f(u)$ 在点$u=g(x)$ 可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$ 在点$x$可导，且其导数为

1.2.4 常数和基本初等函数的导数公式

(1)$(C)'=0$

(2)$(x^{\mu})'=\mu x^{\mu-1}$

(3)$(\sin x)'=\cos x$

(4)$(\cos x)'=-\sin x$

(5)$(\tan x)'=\sec^2x$

(6)$(\cot x)'=-\csc^2x$

(7)$(\sec x)'=\sec x \quad \tan x$

(8)$(\csc x)'=-\csc x \quad \cot x$

(9)$(a^x)'=a^x \ln a \quad ({a>0,a\neq 1})$

(10)$(e^x)'=e^x$

(11)$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} \quad (a>0,a\neq1)$

(12)$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

(13)$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(14)$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(15)$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$

(16)$( arccot x)'= -\frac{1}{1+x^2}$

1.3 高阶导数

1.3.1 高阶导数的定义

函数$y=f(x)$ 的导数叫做该函数的一阶导数，类似的，一阶导数的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数三阶导数。

函数 $y=f(x)$ 具有n阶导数，也常说函数$f(x)$ 为$n$ 阶可导。如果函数 $f(x)$ 在点$x$ 处具有 $n$阶导数，那么 $f(x)$ 在点$x$ 的某一邻域内必定具有一切低于$n$ 阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数

1.3.2 常见的高阶导数公式

(1)$(e^x)^{(n)}=e^x$

(2)$(a^x)^{(n)}=a^x\ln ^n a \quad (a>0)$

(3)$(\sin kx)^{(n)}=k^n\sin(kx+ n \cdot \frac{\pi}{2})$

(4)$(\cos kx)^{(n)}=k^n\cos(kx+ n \cdot \frac{\pi}{2})$

(5)$[\ln (1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$

(5)$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)...(\mu-n+1) x^{(\mu-n)}$

(6) 莱布尼茨公式$(uv)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$

1.4 隐函数及由参数方程锁确定的函数的导数

1.5 函数的微分

2、微分中值定理与导数的应用

3、不定积分

4、定积分

5、定积分的应用

6、微分方程