剑指Offer 53、二分查找的应用

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题目：53题对应了两题，两题的思路都是二分查找，首先第一题：

1. 在排序数组中查找数字，统计所需查找数字的次数。
2. 找到长度为n-1的数组中缺失的数字，数组中的元素范围在0-n-1。

解题思路

两题存在一个共同点，都是数组已经是有序数组，那解决有序数组最常用的方法就是二分法，本题是否可以用到呢？两题都是查找有序数组中的某个数字，因此必然可用二分法。

对于第一题，统计数字的次数，常规的思路是遍历一遍数组，每次比较元素的值，统计次数即可，这样时间复杂度为$O(n)$，并且毫无逻辑思路，在面试时肯定是不可取的。因为数组已经有序，因此我们可以对数组按照中间进行切分，这样比较中间元素和target的大小即可判断最终查找的元素在数组的哪一部分，之后递归即可得出结果，可得代码如下：

private int count = 0;

public int search(int[] nums, int target) {
    binarySearch(nums, target, 0, nums.length-1);
    return count;
}

public void binarySearch(int[] nums, int target, int left, int right){
    if(left>right) return;
    int mid = left + (right-left) / 2;
    if(nums[mid]<target){
        binarySearch(nums, target, mid+1, right);
    }else if(nums[mid]>target){
        binarySearch(nums, target, left, mid-1);
    }else {
        count++;
        binarySearch(nums, target, left, mid-1);
        binarySearch(nums, target, mid+1, right);
    }
}

回溯法思路正确但略显繁琐，实际上我们只需要不断更新左右边界即可，而当中间元素等于target时如何更新边界呢？此时可通过不断收缩左右边界的方式得到最终的边界，可得如下代码：

public int search3(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length-1;
    while(left<=right){
        int mid = left + (right-left)/2;
        if (nums[mid] < target){
            left = mid+1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else {
            if(nums[left]!=target) {
                left++;
            }else if(nums[right]!=target) {
                right--;
            }else {
                break;
            }
        }
    }
    return right-left+1;
}

这样时间复杂度即为$log(n)$。

对于第二题，同样可根据二分法，首先进行二分，判断中间元素的值是否正确，如果正确则说明不正确的元素应该在数组的另一侧，此时更新左边界即可。但如果不正确，则代表右边的部分必然是正确的，不正确的数只可能出现在左边，更新边界即可，可得代码如下：

public int missingNumber(int[] nums) {
    int left = 0, right = nums.length-1;
    while(left<right){
        int mid = left + (right-left) / 2;
        if(nums[mid] == mid){
            left = mid + 1;
        }else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return left;
}

最终时间复杂度为$log(N)$。