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凸优化理论基础2——凸集和锥

​ 之前我已经介绍过仿射集的概念了，自认为讲的还算清楚，阅读此篇文章前建议先了解仿射集的相关概念🥗🥗🥗

凸集

• 定义

  定义：集合C为凸集等价为$\Leftrightarrow$C中任意两点间的线段仍然在C中，即对任意的$x_1,x_2 \in C$ 和满足 $0 \le \theta \le 1$ 都有$\theta x_1 +(1- \theta)x_2 \in C$。

  我们在学习相关概念的时候一定要学会对比着学习，凸集从概念上和仿射集是非常相近的，仿射集要求C中任意两点的直线仍然在C中，而凸集只需要求任意两点间的线段仍然在C中，也即凸集对$\theta$有一定的限制。从这个定义的差别来看，其实我们就能够得到一个结论：仿射集一定是凸集。

• 例子

  凸集我认为是非常容易理解的，下面的三个例子根据凸集的定义也很好判断是否为凸集🍉🍉🍉

凸组合

  和仿射组合的概念类似，我们称 $\theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k$ 为点 $x_1 , \cdots ,x_k$ 的一个凸组合。其中 $\theta_1 + \cdots +\theta_k=1$ 且 $\theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k$。同样的，类似于仿射组合，一个集合是凸集合等价于集合包含其中所有点的凸组合。【注意：这里的$\theta _i \ge 0$是凸组合所有的条件，在仿射组合中没有，这一条件就保证了$0\le\theta \le1$】

凸包

  我们称集合C中所有点的凸组合的集合为凸包，记为$convC$。凸包总是凸的，它包含了C的最小的凸集。如果B是包含C的凸集，那么$convC \subseteq B$ 。这里给出一些凸包的例子供大家理解🥂🥂🥂【注意凸集的凸包就是其本身】

锥和凸锥

  如果对于任意的$x \in C$ 和 $\theta \ge 0$ 都有 $\theta x \in C$ ,我们称集合C是锥。【可以看出齐次方程组 $AX=0$ 的解为锥】

  如果集合C是锥，并且C的凸的，则称C为凸锥，即对任意的 $x_1,x_2 \in C$ 和 $\theta_1,\theta_2 \ge 0$ ,都有 $\theta_1x_1+\theta_2x_2 \in C$ 。从几何上来看，凸锥构成了一个扇形，扇形以0为顶点，两边分别通过$x_1$和$x_2$ ，如下图所示：

锥组合

​  具有 $\theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k ，\theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k$ 形式的点称为 $x_1 , \cdots ,x_k$ 的一个锥组合。如果$x_i$均属于凸锥C，那么$x_i$ 的每一个锥组合也在C中，也即集合C是凸锥的充要条件是它包含其元素的所有锥组合。

锥包

  集合C的锥包是C中元素的所有锥组合的集合，锥包是包含C的最小的最小的凸锥。这里给出一些锥包的例子供大家理解🥂🥂🥂

重要例子

凸集、凸锥、仿射集三者关系图

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