EEG信号处理——小波变换系列本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。时域信号分析时域信号的分析常常

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

时域信号分析

时域信号的分析常常是基于相位、能量，甚至跨频率耦合实现的。

常见的时域信号分析方法为ERPS，即多通道脑波均值滤波，该方法需要注意的是需要进行基线标准化，将所有的数据放在同一个尺度上，使得任务相关活动与背景活动分隔开，更加趋向于正态分布。

但时域分析方法存在一定的缺点：

平稳性的定义为：时间序列的信号的统计特征是否随着时间推移具有相似特性。EEG信号是一个高度非平稳的信号。

小波变换是这样一个过程：首先将原始信号作为输入信号，通过一组正交的小波基分解成高频部分和低频部分，然后将得到的低频部分作为输入信号，又进行小波分解，得到下一级的高频部分和低频部分，以此类推。随着小波分解的级数增加，其在频域上的分辨率就越高。这就是多分辨率分析

连续小波变换是一个平方可积函数f(t) 与一个时频域上具有良好局部性质的小波函数ψ(t)的内积：

W_f(a, b)=<f, \psi_{a, b}>=\dfrac{1}{\sqrt a}\psi^*(\dfrac{t-b}{a})dt\\ \psi_{a, b}(t)=\dfrac{1}{\sqrt a}\psi(\dfrac{t-b}{a})

$\psi_{a, b}(t)$ 是母小波 $\psi(t)$ 经位移和伸缩所产生的一族函数，称为小波基函数或简称小波基。

$\psi(t)$ 的时域波形具有“衰减性”和“波动性”，即其振幅具有正负相间的振荡；从频谱上看集， $\psi(w)$ 中在一个“小”的频带内，具有“带通性”。

在实际中对尺度因子 $a$ 和位移因子 $b$ 进行离散化处理，取：

a = a_0^m, b=nb_0a_0^m

离散小波形式：

\psi_{m, n}(t)=\dfrac{1}{a_0^m}\psi(\dfrac{t-nb_0a_0^m}{a_0^m})=\dfrac{1}{a_0^m}\psi(a_0^{-m}t-nb_0)\\ w_f(m, n)=<f, \psi_{a, b}>=f_{-\infty}^{+\infty}f(t)\psi_{m, n}^*(t)dt

小波分析是把时间序列 S 分解成低频信息a1 和高频信息d1 两部分，在分解中，低频a1 中失去的信息由高频d1 捕获。在下一层的分解中，又将a1 分解成低频a2和高频d2 两部分，低频a2中失去的信息由高频d2捕获。依此类推，可以进行更深层的分解。

小波变换后结果的长度等于小波长度+信号长度-1

注意：

小波包分解不仅对低频部分进行分解，而且还对高频部分进行分解。因此，小波包分解是一种更广泛应用的小波分解方法，应用于信号的分解、编码、消噪、压缩等方面。在这里插入图片描述

记小波包变换中的父小波 $\Phi(t)$ 为 $\mu_0^0(t)$ ，母小波 $\Psi(t)$ 为 $u_0^1(t)$ ，其中的上标表示该小波包所在的分解级数，下标表示该小波包在其级里的位置。

\left\{ \begin{aligned} \mu_{2n}^{L-1}(t)=\sum_kh_k\mu _n^L(t-k), \mu_{n}^{L}(t-k)=\mu_{n}^{L-1}(2t-k)\\ \mu_{2n+1}^{L-1}(t)=\sum_kg_k\mu _n^L(t-k), \mu_{n}^{L}(t-k)=\mu_{n}^{L-1}(2t-k)\\ \end{aligned} \right.

其中， $h_k$ 、 $g_k$ 为同小波变换， $\mu$ 为小波包

由于小波分解的稀疏编码特性，其可用于数据压缩，主要做法为：将信号进行小波分解，并将较小的小波系数置零。相当于将不重要（特征不明显）的信息分量去除，达到数据精简的效果。

小波分解也可用于信号滤波，主要做法为：将信号进行小波分解，并将特定级数以上的小波系数置零。相当于将高分辨率的信息分量去除，达到数据平滑的效果。

小波分解还可用于信号降噪，主要做法为：将信号进行小波分解，并通过设置一个阈值，将其中低于阈值的小波系数置零。相当于将信号中占成分比例较低的噪声部分去除。