凸优化

HolyFunc
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凸优化不挂day6

分离超平面

C,D为两个凸集,且非空,交集为空集,则超平面为{x∣aTx=b,aTx≥b(x∈D),aTx≤b(x∈C),a≠0}C,D为两个凸集,且非空,交集为空集,则超平面为\\\lbrace x|a^Tx=b,a^Tx\geq b(x \in D),a^Tx\leq b(x \in C),a\neq 0\rbrace

严格分离超平面

上述≤,≥⇒<,>上述\leq,\geq \Rightarrow <,>

集合的扩展

S为凸集,Sa也是凸集dist(xS,xSa)≤a几何意义就是把S向外加了一层厚度为a的集合S为凸集,S_a也是凸集\\ dist(x_S,x_{S_a})\leq a\\ 几何意义就是把S向外加了一层厚度为a的集合

集合的收缩

S−a={x∣B(x,a)⊆S}即取S内所有半径为a的球的球心S_{-a}=\lbrace x|B(x,a)\subseteq S\rbrace\\ 即取S内所有半径为a的球的球心

两个凸集的部分和保凸

S1,S2为两个凸集S={(x,y1+y2)∣x∈Rm,y1,y2,∈Rn,(x,y1)∈S1,(x,y2)∈S2}S_1,S_2为两个凸集\\ S=\lbrace(x,y_1+y_2)|x\in R^m,y_1,y_2,\in R^n,(x,y_1) \in S1,(x,y_2)\in S_2\rbrace

支撑超平面

C∈Rn,x0为C边界一点,a≠0,aTx≤aTx0x∈C则{x∣aTx=aTx0}为集合C在x0处的支撑超平面,几何意义为切线,对任意非空凸集在其边界上任意点存在支撑超平面C \in R^n,x_0为C边界一点,a\neq 0,a^Tx\leq a^Tx_0 x\in C则\lbrace x|a^Tx=a^Tx_0\rbrace为集合C在x_0处的支撑超平面,几何意义为切线,对任意非空凸集在其边界上任意点存在支撑超平面

对偶锥

K∗={y∣xTy≥0∀x∈K}几何意义为锥两个边界的垂线构成的区域中夹角小于等于180的那部分(以2维为例)K∗与K没有绝对包含关系,取决于K的夹角(二维为例)无论K是否为凸,K∗一定是凸的k1⊆k2⇒k2∗⊆k1∗K^*=\lbrace y|x^Ty\geq 0 \forall x \in K\rbrace\\几何意义为锥两个边界的垂线构成的区域中\\夹角小于等于180的那部分(以2维为例)\\K^*与K没有绝对包含关系,取决于K的夹角(二维为例)\\ 无论K是否为凸,K^*一定是凸的\\ k_1 \subseteq k_2 \Rightarrow k_2^* \subseteq k_1^*
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