条件概率相关公式笔记条件概率 $$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$ $$ P(AB)=P(A|

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条件概率

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

P(AB)=P(A|B)*P(B)

如果 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个划分，即 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 不相容且它们的并集是 $\Omega$ ,则对于任意的A有：

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)

A与B独立等价于：

P(A|B)=P(A)\\ P(B|A)=P(B)\\ P(AB)=P(A)P(B)

对于三个事件A,B,C,它们之间两两独立不代表它们三者互相独立。它们三者互相独立的等价条件是：

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

两两独立不能推出三者互相独立的一个例子是：

A,B,C 三者独立除了要满足 A,B,C 两两独立之外,还需要满足 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) .

举个具体例子,有 4 个集合,分别为 {0},{1},{2},{0,1,2} ,从中等概率随机选择一个集合,记选出的集合包含 0 为事件 A, 包含 1 为事件 B, 包含 2 为事件 C.

则 P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, P(AB) = P(BC) = P(AC) = 1/4, 但 P(ABC) = 1/4, 不等于 P(A)P(B)P(C) .

作者：3Ni2Co
链接：https://www.zhihu.com/question/400243671/answer/1271907264
来源：知乎
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$P(AB|C)=P(A|BC)·P(B|C)$ 。证明如下：

P(AB|C)=\frac{P(ABC)}{P(C)}\\ P(ABC)=P(A|BC)P(BC)

如果A和B相互独立，那么有 $P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)$ 吗？答案是否定的

P(AB|C)=\frac{P(ABC)}{P(C)}\\ P(A|C)P(B|C)=\frac{P(AC)}{P(C)}·\frac{P(BC)}{P(C)}

除非A，B，C是相互独立，才有前面的结论。反例如下：在这里插入图片描述

如果B和C独立，那么有 $P(A|BC)=P(A|B)P(A|C)$ 吗？答案是否定的

P(A|B,C)=\frac{P(ABC)}{P(BC)}=\frac{PABC}{P(B)P(C)}\\ P(A|B)P(A|C)=\frac{P(AB)P(BC)}{P(B)P(C)}

除非有 $P(ABC)=P(AB)P(AC)$ ，而下面就是一个反例

一个正四面体，四个面分别为1,2,3,4.
A={1 or 2}
C={1 or 3}
B={1 or 2 or 3}
A和B独立，但是不满足上面的要求

上面的例子也可以推翻当A和C独立时 $P(A|BC)=P(A|B)$