凸优化凸优化对称矩阵半正定对称矩阵正定对称矩阵仿射保凸凸优化对称矩阵半正定对称矩阵正定对称矩阵仿射保凸凸优化对称矩阵半正

S^n=\lbrace X\in R^{n\times n}|X=X^T\rbrace

S^n_+=\lbrace X\in S^n|X\succeq 0\rbrace,X的特征值\geq 0\\ 凸锥

S^n_{++}=\lbrace X\in S^n|X\succ 0\rbrace,X的特征值> 0\\ 是凸集不是凸锥

球经过仿射变换到椭圆\\ S为凸集,x_1,x_2 \in S,\theta \in [0,1]\\ \theta x_1+(1-\theta)x_2\in S\\ F:f(x)=Ax+b,A\in R^mn,x\in R^n,b\in R^m,f(x)\in R^m\\ f(x_1),f(x_2)\in F\\ \theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)\\=\theta(Ax_1+b)+(Ax_2+b)-\theta(Ax_2+b)\\=A(\theta x_1+(1-\theta)x_2)+b\\(\theta x_1+(1-\theta)x_2)\in S

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