凸优化

HolyFunc
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凸优化不挂day3

球

B(xc,r)={∣∣x−xc∣∣2≤r∣}={x∣(x−xc)T(x−xc)≤r2}∣∣x∣∣2表示2范式即x模长∣∣x∣∣1=∑i=1N∣xi∣∣∣x∣∣∞=max∣xi∣∣∣x∣∣−∞=min∣xi∣证明:球是凸集设B(xc,r)={∣∣x−xc∣∣2≤r∣}为球,取x1,x2为B中两点,取θ∈[0,1]则∣∣x1−xc∣∣2≤r,∣∣x2−xc∣∣2≤r∣∣θx1+(1−θ)x2−xc∣∣2=∣∣θx1+(1−θ)x2−(1−θ+θ)xc∣∣2=∣∣θ(x1−xc)+(1−θ)(x2−xc)∣∣2≤θ∣∣x1−xc∣∣2+(1−θ)∣∣x2−xc∣∣2=r(θ+1−θ)=rB(x_c,r)=\lbrace ||x-x_c||_2 \leq r| \rbrace=\lbrace x|(x-x_c)^T(x-x_c)\leq r^2\rbrace \\ ||x||_2表示2范式即x模长\\ ||x||_1=\sum_{i=1}^N|x_i|\\ ||x||_{\infty}=max|x_i|\\ ||x||_{-\infty}=min|x_i|\\ 证明:球是凸集\\ 设B(x_c,r)=\lbrace ||x-x_c||_2 \leq r| \rbrace 为球,取x_1,x_2为B中两点,取\theta \in [0,1]则\\ ||x_1-x_c||_2 \leq r,||x_2-x_c||_2 \leq r\\ ||\theta x_1 +(1-\theta)x_2-x_c||_2\\=||\theta x_1+(1-\theta)x_2-(1-\theta+\theta)x_c||_2\\=||\theta(x_1-x_c)+(1-\theta)(x_2-x_c)||_2\\\leq \theta||x_1-x_c||_2+(1-\theta)||x_2-x_c||_2\\=r(\theta+1-\theta)=r

椭球

ε={x∣(x−xc)TP−1(x−xc)≤1}P为对称正定矩阵，实质是把球给拉伸了\varepsilon=\lbrace x| (x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\leq 1\rbrace\\ P为对称正定矩阵，实质是把球给拉伸了

范数球

B(xc,r)={∣∣x−xc∣∣≤r∣}是凸集,和上面一样用三角不等式证明B(x_c,r)=\lbrace ||x-x_c|| \leq r| \rbrace\\是凸集,和上面一样用三角不等式证明

范数锥

C={(x,t)∣ ∣∣x∣∣≤t}x∈Rn,C∈Rn+1C=\lbrace (x,t)|\ ||x||\leq t\rbrace\\ x \in R^n,C \in R^{n+1}

多面体

凸包和凸锥的组合P={x∣aiTxi≤bi,i∈[1,m],CiTxj=dj,j∈[1,p]}={∑i=1mθixi∣∑i=1kθi=1,θi≥0,k≥m}仿射集,超平面,射线,线段都是多面体凸包和凸锥的组合\\ P=\lbrace x| a_i^Tx_i\leq b_i,i \in [1,m],C_i^Tx_j=d_j,j \in [1,p]\rbrace\\=\lbrace\sum_{i=1}^m\theta_ix_i|\sum_{i=1}^k\theta_i=1,\theta_i\geq 0,k\geq m\rbrace\\仿射集,超平面,射线,线段都是多面体

单纯形

平面中三角形,空间中四面体的推广Rn空间选择k+1个点(v0,,vk),且vk−v0线性无关(即任意三点不共线),则与上述点相关的单纯形为上述点的凸包conv{v0,v1,,,vk}C={∑i=0kθixi∣θ≥0,1Tθ=1}1Tθ,1是向量,此内积表示θ和为1平面中三角形,空间中四面体的推广\\ R^n空间选择k+1个点(v_0,,v_k),且v_k-v_0线性无关(即任意三点不共线),则与上述点相关的单纯形为上述点的凸包\\ conv\lbrace v_0,v_1,,,v_k\rbrace\\ C=\lbrace\sum_{i=0}^k\theta_ix_i|\theta\geq 0,1^T\theta=1\rbrace \\1^T\theta,1是向量,此内积表示\theta和为1
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