凸优化凸优化凸集凸组合凸包锥凸锥凸锥组合凸锥包超平面半空间凸优化凸集凸组合凸包锥凸锥凸锥组合凸锥包超平面半空间

集合C内任意两点连成的线段仍然在C内则C为凸集,等价于\\ \forall x_1,x_2 \in C,\forall \theta \in [0,1],有 \ \theta x_1+(1-\theta)x_2 \in C\\ 仿射集一定是凸集

与仿射组合类似\\C为凸集,x_1,x_2,x_3,,,x_k \in C,\theta_1,\theta_2,\theta_3,,,,\theta_k\geq0,\sum_{i=1}^k\theta_i=1\\且 \sum_{i=1}^k\theta_ix_i \in C,则\sum_{i=1}^k\theta_ix_i为凸组合\\同时若满足上述条件可推出C为凸集

与仿射包类似\\\forall C\in R,conv C=\lbrace\sum_{i=1}^k\theta_ix_i|\theta_k\in [0,1],x_k\in C,\sum_{i=1}^k\theta_i=1\rbrace\\ 凸包为包含C的最小凸集

\forall x \in C,\theta \geq0,且\theta x \in C\\ 必过原点

\forall x_1,x_2 \in C,\theta_1,\theta_2 \geq0且\theta_1x_1+\theta_2x_2 \in C

与凸组合类似\\ \forall x_1,x_2,x_3,,x_k \in C,\theta_k\geq0,\\ 凸锥组合即\sum_{i=1}^k\theta_ix_i

把任意集合C利用凸锥组合的方法形成新的凸锥集合\\ conic \ C=\lbrace \sum_{i=1}^k\theta_ix_i|x_1,x_2,x_3,,x_k \in C,\theta_k\geq0\rbrace

超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间,它可以把线性空间分割成不相交的两部分,比如二维空间中,一条直线是一维的,它把平面分成了两块,三维空间中,一个平面是二维的,它把空间分成了两块\\ \lbrace x|a^Tx=b,a\in R^n,a\not=0\rbrace(a^T为a的转置,这里相乘为向量内积)\\ a^Tx_0=b\Rightarrow a^T(x-x_0)=0,a^T与(x-x_0)正交(垂直),n=2情况下为直线即既是仿射集又是凸集,当过原点时也是凸锥\\ 证明超平面为凸集:\\ 设C为超平面,x_1，x_2 \in C \Rightarrow a^Tx_1=b,a^Tx_2=b 设\theta\\(\theta x_1+(1-\theta)x_2)a^T=(\theta b+b-\theta b)=b 所以得证

\lbrace x|a^Tx \leq b,a\in R^n,a\not=0\rbrace\\ 与法向量反向\\ 证明半空间是凸锥:\\ 设C为半空间,x_1，x_2 \in C \Rightarrow a^Tx_1\leq b,a^Tx_2\leq b 设\theta \in[0,1]\\(\theta x_1+(1-\theta)x_2)a^T=a^Tx_2(\theta-1)+a^Tx_1\\\theta \in [0,1],a^Tx_2(\theta-1)<=0,a^Tx_1\leq b 所以得证

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