凸优化

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凸优化不挂day1

直线

θ∈R,x1,x2∈Rn(n维向量空间，即x1,x2都属于n维坐标)\theta \in R,x_{1} , x_{2} \in R^n(n维向量空间，即x_{1} , x_{2}都属于n维坐标)
y=θx1+(1−θ)x2(共线定理)y=\theta x_{1}+(1-\theta )x_{2}(共线定理)

线段

θ∈[0,1]的直线即为线段\theta \in [0,1]的直线即为线段

仿射集

一个集合C是仿射集,对于∀x1,x2∈C,连接x1,x2的 直线 也在集合C内,比如直线就是仿射集一个集合C是仿射集,对于 \forall x_1,x_2 \in C,连接x_1,x_2的\ 直线 \ 也在集合C内,比如直线就是仿射集

仿射组合

C是仿射集,x1,x2,,,xn∈C,θ1,θ2,,,θn∈R且∑i=1nθi=1,则∑i=1nθixi为仿射组合证明:该仿射组合也在仿射集C中 设三个点x1,x2,x3∈C,θ1,θ2,θ3∈R且θ1+θ2+θ3=1θ1θ1+θ2x1+θ2θ1+θ2x2∈C(θ1+θ2)(θ1θ1+θ2x1+θ2θ1+θ2x2)+(1−θ1−θ2)x3∈Cθ1x1+θ2x2+θ3x3∈C依此类推n个点依然成立C是仿射集,x_1,x_2,,,x_n \in C,\theta_1,\theta_2,,,\theta_n \in R且\sum_{i=1}^n\theta_i=1,则\sum_{i=1}^n\theta_i x_i为仿射组合\\证明:该仿射组合也在仿射集C中\\ \ \\ 设三个点x_1,x_2,x_3\in C,\\\theta_1,\theta_2,\theta_3\in R且\theta_1+\theta_2+\theta_3=1\\ \frac{\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac{\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2 \in C\\ (\theta_1+\theta_2)(\frac{\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac{\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2)+(1-\theta_1-\theta_2)x_3 \in C\\ \theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3 \in C\\ 依此类推n个点依然成立

一般组合

即不需要约束∑i=1nθi=1即与仿射集相关的子空间C为仿射集,设V=C−x0={x−x0∣x∈C}则V称为与C相关的子空间,V与C平行且过原点证明V为与C相关的子空间,v1,v2∈V,∀α,β∈R,有αv1+βv2∈V v1,v2∈V,v1+x0∈C,v2+x0∈Cα(v1+x0)+β(v2+x0)+(1−α−β)x0∈Cαv1+βv2+x0∈C,αv1+βv2∈V C是仿射集,证明V=C−x0也是仿射集 设v1,v2为V中两点,则v1+x0∈C,v2+x0∈C设θ1,θ2∈R且θ1+θ2=1,则θ1(v1+x0)+θ2(v2+x0)∈Cθ1v1+θ2v2+x0∈C,θ1v1+θ2v2∈V即不需要约束\sum_{i=1}^n\theta_i=1\\ 即与仿射集相关的子空间\\ C为仿射集,设V=C-x_0=\lbrace x-x_0|x\in C\rbrace\\ 则V称为与C相关的子空间,V与C平行且过原点\\ 证明V为与C相关的子空间,v_1,v_2\in V,\forall \alpha,\beta \in R,有\alpha v_1+\beta v_2\in V\\ \ \\ v_1,v_2\in V,v_1+x_0 \in C,v_2+x_0 \in C\\ \alpha (v_1+x_0)+\beta (v_2+x_0)+(1-\alpha-\beta )x_0 \in C\\ \alpha v_1+\beta v_2+x_0 \in C,\alpha v_1+\beta v_2\in V\\ \ \\ C是仿射集,证明V=C-x_0也是仿射集\\ \ \\ 设v_1,v_2为V中两点,则v_1+x_0 \in C,v_2+x_0 \in C\\ 设\theta_1,\theta_2 \in R且\theta_1+\theta_2=1,则 \theta_1 (v_1+x_0)+\theta_2(v_2+x_0) \in C\\ \theta_1v_1+\theta_2v_2+x_0 \in C ,\theta_1v_1+\theta_2v_2 \in V

仿射包

任意集合C∈R,affc={∑i=1kθixi∣∀xk∈C,∀∑i=1kθi=1}意义为包含C的最小的仿射集若C为仿射集,则affc为C本身若k>2且C不为仿射集则affc为平面(不共线三条向量构成一个平面)若k=2则affc为仿射集任意集合C \in R,affc=\lbrace\sum_{i=1}^k\theta_ix_i|\forall x_k \in C,\forall \sum_{i=1}^k\theta_i=1\rbrace\\意义为包含C的最小的仿射集\\ 若C为仿射集,则affc为C本身\\若k>2且C不为仿射集则affc为平面(不共线三条向量构成一个平面)\\若k=2则affc为仿射集
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