斯坦福 密码学 I 学习笔记1：Lecture 0 Introduction

RX_NLOS
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本系列为斯坦福 Dan Boneh教授的"密码学 I"的学习笔记 课程网址: www.coursera.org/lecture/cry…

学习笔记0: 大纲

学习笔记1: Lecture 0 Introduction

0 Introduction

0.1 Course Overview

  • Course objectives
    • 密码原型(crypto primitives)如何工作
    • how to use them correctly and reason about security
  • 学习建议 recommendations
    • take notes
    • pause video frequently to think about the material
      • 讲课速度比normal classroom快很多
    • answer the in-video questions
      • questions通常是just been covered, 所以should not be too difficult to answer
      • encourage to do them
  • Cryptography的应用 -- everywhere

    • 加密通信 secure communiation picture 3

      • cannot 被动eavesdrop + 主动 modify (tampering, 纂改)
      • Secure Sockets Layer / TLS
        • Two main parts
          • Handshake protocal
            • 使用公钥密码建立共享密钥
          • Record layer
            • 使用共享秘密钥传输数据
          • ensure confidentiality and integrity
      • web traffic: http
      • wireless traffic: 802.11i, GSM, Bluetooth等

    • 加密磁盘文件 picture 4

      • EFS, TrueCrypt
      • 和secure communication很像：
        • “今天的Alice”向"明天的Alice"传输信息

    • Content protection

      • e.g., DVD, Blu-ray
      • CSS, AACS

    • User authentication

  • Cryptography的分类
    • Building Block: sym. encryption
      • E, D: cipher
      • m, c: plaintext, ciphertext
  • Encryption algorithms are publicly known
    • 加密方法是已知的
    • 未知的只有密钥 key K
    • 我们也只应该使用public的加密算法
      • 这些public encryption alg.:
        • peer-reviewed by a very large community of hundreds of people
        • for many many years
        • cannot be broken
      • 但自定义的加密算法
        • 没有经过证实，很有可能是危险的
  • Use cases 使用案例
    • 单次使用的密钥 single use key (one time key)
      • key 仅被用来加密one message
        • email: 每一个email都有一个新的key
    • 多次使用的密钥 multi use key (many time key)
      • Key used to encrypt multiple meaages
        • 文件加密: one same key is used to encrypt many files
    • 多次密钥比单次密钥：需要更多的机制 machinery
  • Summary (THINGS TO REMEMBER)
    • cryptography is:
      • a tremendous/ fantistic tool
      • the basis for many security mechanisms
    • Cryptography is not
      • 所有security problems的solution
        • 例如防不了电信诈骗
          • 还得靠反诈app
      • need to implement and use properly
      • 应该避免轻易自己"发明"
        • 许多ad-hoc designs都被证明broken

0.2 What is Cryptography

  • Cryptography core 密码学核心
    • step1 密钥交换
      • secret key establishment
    • step2 加密通信
      • secure communication
      • confidentiality and integrity
  • 但密码学还有更多内容
    • digital signatures 数字签名
      • 真实签名 VS 数字签名
        • 不同
          • 真实世界的签名：所有文档的签名都一样；
          • 数字签名：不能相同
            • 否则一旦attacker获取一个签名，就能粘贴到其他文档伪造签名
        • 相同：
          • 目的一样，都是为了证实签名者对文档的认可
    • anonymous communication
      • mix net
      • A send message to B:
        • B不知道A是谁
        • 但B可以回复A，并被A正确接收
    • Anonymous digital cash
      • 现金世界：戴好口罩付款买东西，店主并不知道你是谁
      • 在数字世界可以实现吗？
        • Can I spend a "digital coin" without anyone knowing who I am?
      • How to prevent double spending?
        • 提供匿名支付 ，同时避免"假币"
      • Anonymity 和 security之间的矛盾
  • Protocols 协议

    • Elections 选举 picture 5

      • winner = MAJ[votes]
      • 要求：
        • 统计选票，确定winner
        • 每个选民最多投一票，不能假冒
        • 但保密选民信息
      • 解决方案
        • 设立选举中心 -- election center picture 6

    • Private auctions 私密拍卖

      • Vickery auction: winner是拍价最高者，但只需以次高拍卖价格支付
      • 系统只统计有用的2个信息，保护其他信息

    • Secure multi-party comutation 安全多方计算

      • 针对无可信第三方的情况下，如何安全地计算一个约定函数的问题
      • 例如：
        • Bob和Alice想弄清谁的薪资更高，但因为签署了保密协议而不能透露具体薪资。如果Bob和Alice分别将各自的薪资告诉离职员工Anne，这时Anne就能知道谁的薪资更高，并告诉Bob和Alice。这种方式就是需保证中间人Anne完全可信。
        • 而通过MPC则可以设计一个协议，在这个协议中，算法取代中间人的角色，Alice和Bob的薪资以及比较的逻辑均交由算法处理，参与方只需执行计算协议，而不用依赖于一个完全可信的第三方

    • Goal: compute f(x1,x2,x3,x4)

      • 函数f: 约定函数
        • 选举：f输出为大多数票数方 (获胜者)
        • 拍卖：f输出为第二高的金额 + 最高金额的编号
      • 要求：只输出f值，其他信息完全保密
      • 方法1： 朴素且呆板

        • 引入 trusted authority picture 7

        • 但凭啥相信 这个 aurhority

      • 方法2：设计并使用协议

        • 密码学一个"谚语":

          • anything that can be done with trusted auth. can be also done without

        • 即 trusted authority 总是可以被 协议 protocol 取代

          • 经过协议，每个人都知道结果，但一点也不知道过程
  • Crypto magic
    • 一些无法归类，但的确很神奇的密码学应用
    • privately outsourcing computation 私下外包计算
      • 例如：

        • Google可以不知道query, 仅仅通过E[query]返回E[query]对应的搜索结果,但搜索者可以解密，得到正确的查询结果 picture 8

          • 整个过程Google也不知道search了什么，返回了什么，但确实search到了
    • Zero Knowledge (proof of knowledge)
      • 零知识
      • 如零知识证明: 证明者能够在不向验证者提供任何有用的信息的情况下，使验证者相信某个论断是正确的
        • Alice知道一个大数N = pq, 也知道p q
        • Bob只知道N， 不知道p q
        • 任务：使Bob相信Alice知道N q p, 也使Alice相信Bob确实只知道N
  • 密码学：严密的科学 A rigorous science
    • The three steps in cryptography
      • Precisely specify threat model
      • propose a construction
      • Prove: No attacker can break the construction under the threat model

0.3 History of Cryptography

相关书籍

  • "The code breakers" -- 1996
    • 从Babylonian era to present的密码学history

Symmetric Ciphers

picture 21

  • symmetric: the same key K

Few History Examples

  • all badly broken
  1. Substitution cipher
    • using substitution table(s)
    • the Key is the table(s)
    • Caesar Cipher
      • key: shift by 3
        • a --> d; b-->e; c-->f
      • The key space (for 26 letters): 26!
        • about 2882^{88}
      • it is still teribly insecure
    • The break methods:
      • The most common letter in English: "E"
      • Step 1: Use frequency of English letters
        • prior knowledge: 'e' 12.7%, 't': 9.1% ....
      • Step 2: Use frequency of pairs of letters (diagrams)
        • match the most frequent pairs
        • try and error
        • get more and more elements in the key table
      • The attack methods: ciphertext only
        • the worst possible type of attack
  2. Vigener cipher (16 the century, Rome)
  • The key is a word
    • e.g.,
    • k = C R Y P T O
    • m = W H A T A N I C E D A Y T O D A Y
    • c = (k + m) mode 26
    • c = Z Z Z J U C L U D T U N W G C Q S
  • attack methods:

    • assume: know the lenght of k

    • len(k) = 6, then divide the m to some branch of groups,长度也为k

    • c = Z Z Z J U C | L U D T U N | W G C Q S picture 22

    • the first letters: Z, L, W

    • 他们分别是3个明文字符移动相同位置后的结果

    • 即Z, L, W ... 这些set{相同位置的字母}与englist letters有着相同的分布

      • 频率最高的为’e‘
      • 退化为substitution encryption

    • 之后，即可得到key #1

      • repeat, and get the whole k

    • without knowing the lenght of key?

      • just loop to search the lenght of the key!
  1. Rotor Machines (1870-1943) 4. 1

    • Early example: the Herben machine (single rotor 转子)

    • 每按一个按键，disc rotates by one notch, 更新一次substitution table

    • secret key: the Disc!

      • encodes a substitution table

    • The Enigma (3-5 rotos) picture 24

      • World War II
  2. Data Encryption Standard DES (1974)
    • proposed by a group at IBM
    • DES: # key = 2562^{56}, block size = 64 bits
      • 是分组加密，不像之前rotor machine那样stream cipher
    • Today: AES (2001, 128 Bits key), Salsa20 (2008) etc.

0.4 Discrete Probablity

Basic Symbols and definitions

  • U: finite set (e.g., U={0,1}nU=\{0,1\}^n)
    • {0，1}^2 = {00, 01, 10, 11}
  • Def: probability distribution P over U is a function P: U --> [0,1]
    • such that Σx∈U\Sigma_{x \in U} P(x) = 1$
    • examples:picture 25
      • Uniform distribution: for all x∈Ux\in U, P(x) = 1/|U|
        • |U| is the size of the universe U
      • Point distribution at x0x_0: P(x0) = 1, 其他x: P(x) = 0
  • Distribution vector:
    • 有限集 (离散的概率分布)
      • 可以write down每一个具体的probalibility
    • 概率分布可以组成一个distribution vector
      • 如 for U = {0,1}^3: (P(000), (P001), ... ,P(111)) ∈R8\in \mathbf{R}^8

Events

  • For U的一个子集A, Pr[A]=Σx∈AP(x)∈[0,1]Pr[A] = \Sigma_{x\in A} P(x) \in [0,1]
    • Pr[U] = 1
    • Pr和P表示概率时的区别：
      • 根据本页PPT，似乎P表示单个元素发生的概率，Pr表示多个元素所构成的事件event发生的概率
        • 但找不到佐证！
      • The set A is called an event
    • Example: U=0,18U = {0,1} ^ 8
      • A = {all x in U such that lsb_2(x) = 11} ⊆U\subseteq U
        • Note:
          • lsb_2(x) = 11: the two least siginicant bits of the byte = 11
          • 也就是最低(最右)两bits 为 11
      • then, foe the uniform distribution on {0,1}^8,
      • Pr[A] = ?
        • 1/4

The Union bound

  • For events A1 and A2:
    • Pr [A1 U A2] <= Pr[A1] + Pr[A2] picture 26
    • Example picture 27

Random Variables

  • Def: a random variable X is a function X: U --> V
    • The set V: where the random variables takes its values
      • 随机数的取值集合
  • example: X:{0,1}^n --> {0,1}; X(y) = lsb(y) ∈\in {0,1}
    • and for the uniform distribution on U:
      • Pr[X=0] = 1/2; Pr[X=1] = 1/2 picture 28
    • More generally:
      • random variable X induces a distribution on V:
        • Pr[X=v]:=Pr[X−1(v)]Pr[X=v] := Pr[X^{-1}(v)]
          • sample a random element in the universe U
          • then apply function X
          • the output is = v的概率是多大？
            • 即等式左侧
          • 等式右侧：符合上述要求的U中的元素的概率
            • X−1:V−−>UX^{-1}: V --> U
          • 二者相等

The uniform random variable

  • Let U be some set, 如U = {0,1}^n
  • write r: r←RUr \leftarrow^{R} U denote a uniform random variable over U
    • r←RUr \leftarrow^{R} U: 表示随机变量r是从U中均匀采样得到的
    • for all a∈Ua\in U: Pr[r = a] = 1/ |U |
  • Practice: Let r be a uniform random variable on {0,1}^2,
    • Define the random variable X = r1 + r2
    • Then, Pr[X=2] =?
    • ans: 1/4

Randomized algorithms

  • Deterministic algorithms: y←A(m)y \leftarrow A(m)

    • the output y is always the same. - 1

  • Randomized algorithm

    • y←A(m;r)y \leftarrow A(m;r) where r←R0,1nr \leftarrow ^{R} {0,1}^{n} picture 30
    • output is a random variable
      • y←RA(m)y \leftarrow ^R A(m)
    • example：
      • A(m;k) = E(k,m), y←RA(m)y \leftarrow ^{R} A(m)
        • E(k,m): 定义了一个随机变量
          • 其取值即为加密空间的可能值
          • 随k (密钥)不同而不同

Recap 扼要重述

  • finite Set U
  • Prob. distr. P over U:
    • a function P: U --> [0,1]
  • A⊆UA \subseteq U is called an event
    • Pr[A] = Σ\Sigma P(x) for x∈Ax\in A
  • Random variable: a function X: U--> V
    • X takes values in V and defines a distribution on V

Independence

  • Def: events A and B are independent if
    • Pr [A and B] = Pr[A] ⋅\cdot Pr[B]
    • means: 知道A的信息，对获取B的信息毫无帮助
  • random variables X, Y taking values in V are independent if
    • ∀a,b∈V\forall a,b \in V: Pr[X=a and X=b] = Pr[X=a] ⋅\cdot Pr[Y=b]
    • means: even if you konw x = a, that tells nothing about the value of y
  • Example: U = {0,1}^2 = {00,11,01,10} and r←RUr\leftarrow^R U
    • Define r.v. (random variable) X and Y as:
      • X = lsb(r), Y = msb(r)
      • Pr[X = 1 and Y = 1] = 0.25
      • Pr[X=1] = Pr[Y=1] = 1/2
      • for all (0,1) pairs, the above Prs are right
    • 知道lsb=1对判断msb毫无帮助
      • 二者independent

XOR

  • Review
    • XOR: bit-wise addition mod 2
  • An important property of XOR
    • 定理：Y是{0,1}^n上的一个随机变量，X是{0,1}^n上的一个独立均匀变量(indep. uniform var.)
      • Then: Z:= Y XOR X 也是{0,1}^n上的一个均匀随机变量
      • 解读：
        • Y是{0,1}^n上的一个随机变量: means we know nothing about
        • X关于Y独立，且均匀分布
        • 无论Y是什么分布的，Z:= Y XOR X始终均匀分布！
          • 即，if I take an arbitrarily malicious distribution and XOR with an indepentent uniform random variable, 就可以得到一个均匀分布的变量！
        • 因此XOR非常重要
      • Proof:
        • for n = 1: picture 31
          • Pr[Z = 0] = Pr[(X,y) = (0,0) or (X,Y) = (1,1)] = (p0+p1)/2
          • Pr[Z = 1] = (p0+p1)/2
          • therefore, Z is uniform var.

The birthday paradox

  • Thm: Let r1, r2, ..., rn ∈U\in U be indep. identically distributed random vars
    • when n = 1.2 * ∣U∣1/2|U|^{1/2} , then Pr[∃i!=j:ri=rj]>=0.5Pr[\exists i !=j: r_i = r_j] >= 0.5
  • just need ∣U∣\sqrt{|U|}
  • example:
    • Let |U| = {0,1}^{128}
    • after sampling about 2642^{64} random messages from U, some two sampled messages will likely be the same picture 32
  • paradox: 比预期小很多
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