定点数的运算移位运算, 原码一位乘法, 原码两位乘法, 补码一位乘法, booth 算法, 原码一位除法, 补码一位除法

关于移位运算

已知 $g(x)=z$ 和 $g'(f(x))=z'$

若 $f(z)=z'$ , 则说明 $g$ 与 $g'$ 同构

右移

定义 原码的右移运算 $g(x)=x>>1$ 为真值除以 2 并向下取整

其在补码域上的同构变换 $g'([x]_补)=[x]_补>>1$

其中 $f(x)=[x]_补$

正数

令 $x=+0100(4)$ , 则 $x>>1=+0010(2)$

已知 $[x]_补=0,0100$ , 则 $[x]_补>>1=?,0010$

为了使 $g$ 和 $g'$ 同构, 则 $[x>>1]_补=[x]_补>>1$ , 即 $?=0$

① 正数原码的右移符号位不需要动, 符号位的下一位补 0
② 正数补码可以说符号位不动, 补充位补 0, 也可以说符号位跟着一起移动, 补充位与符号位相同

负数

令 $x=-0100(-4)$ , 则 $x>>1=-0010$ , $[x>>1]_补=11110$

$[x]_补=1,1100$ , $[x]_补>>1=?1110$ , 为了同构, $?=1$

① 负数的原码右移规则与正数的一致
② 负数的补码右移符号位需要移动, 补充位与符号位相同, 另一种等价的说法是, 符号位不动, 补充位补 1

补充

原码右移符号位如果一起动的话, 正数还行, $00100>>1$ 变成了 $?0010$ , 令 $?=0$ 结果无影响, 负数的话, $-0100(-4)>>1$ 变成了 $?1010(±10)$ , 无论符号位是什么都不正确

左移

定义左移是真值乘以 2

正数

令 $x=+1000(8)$ , $x<<1=+0000(0)$ (这里溢出了)

其补码为 $[x]_补=0,1000$ , 左移为 $[x]_补<<1=?,000?$

为使 $[x<<1]_补=0,0000=[x]_补<<1$ , 故两个 $?=0$

负数

令 $-0001(-1)$ , $x<<1=-0010(-2)$ , 因此 $[x<<1]_补=1,1110$ , 其补码为 $[x]_补=1,1111$ , 左移 $[x]_补<<1=1,110?$ , 得到 $?=0$

因此原码和补码的左移都是补 0, 符号位不动

乘法

原码一位乘

使用变形补码(符号位是2位)的原因是为了实现乘时溢出无影响, 因为乘时需要右移, 比如 00,11 + 00,11 = 01,10, 为了右移不改变符号位, 所以需要再多一位符号位, 这样即使溢出了也会在右移时消除溢出的影响, 如果用一位符号位, 则会出现 0,11 + 0,11 = 1,10, 右移时就变成了 1,11, 变成了一个负数

令 $x=x_0x_1x_2\cdots x_n$ 以及 $y=y_0y_1y_2\cdots y_n$

其中 $x_0$ 和 $y_0$ 是符号位

已知 $y=y_1×2^{-1}+y_2×2^{-2}+\cdots+y_n×2^{-n}$

则 $x×y=x×(y_1×2^{-1}+y_2×2^{-2}+\cdots+y_n×2^{-n})$

根据秦九韶算法可得

x×y=2^{-1}(xy_0+2^{-1}(xy_2+2^{-1}\cdots(xy_n+0)))

即原码的一位乘法是最低位 $y_n$ 乘上 $x$ , 再 右移 一位( $2^{-1}$ ), 加上次低位 $y_{n-1}$ 乘以 $x$ , 右移, 反复如此...

由于 y 只有 0 和 1 两种状态, 因此 $y_i×x$ 等价于加或者不加 $x$

原码两位乘

两位乘存在 4 种情况

3x 比较特殊, 不能通过直接右移得到, 因此这里采用先 -x 再 +4x 的策略

这里 4x 刚好能够被更高位的两位乘代替, 相当于 进1 , 把处理交给下一次乘法, 因此实际情况为

同一位乘相同, 两位乘也需要使用变形补码, 不过这里符号位是 3 位, 因为有加 2x 的存在, 如 000.11... + 001.10...(2x) = 010.01 , 为了保持真实的符号位, 需要 3 位符号位

这里为了防止不够两位乘, 因此若 b 的位数为奇数, 则补一个 0, 为偶数, 则补两个 0

补充 0 是为了与进位的 1 相结合, 位数为偶数时可能最高两位还会进 1 , 因此必须补两个 0 , 为奇数时, 进 1 最多到 10, 不会再进了, 因此补 1 个就够了

由于补充位的存在, b 的所有位都已经移除, 因此最后不需要再右移两位, 但是奇数位的乘数只补充了一个 0, 因此最后还要右移一位把 b 的所有位移除

补码一位乘

乘数为正数时

[x×y]_补=[x]_补×[y]_补=[x]_补×y

即按照原码一位乘的规则, 只不过乘的不是 $x$ , 而是 $[x]_补$ , 并且由于 $y$ 是正数, 正数的补码等于原码...

$x$ 是正是负无所谓, 因为乘法实际上是一个个加法, 补码求和还是补码, 因此并不需要关心 $x$

这里有个好处是, 符号位可以参与运算, 所得结果即最终结果

乘数为负数时

已知 $[y]_补=2+y\ (mod\ 2)\ (y\le0)$

例如 $y = -0.0101$ , 则 $[y]_补 = 2 - 0.0101 = 1.1011$

也就是说可以先不考虑 $[y]_补$ 的符号, 算完后再加上 $[-x]_补$

已知 $[x]_补$ 求 $[-x]_补$ 只需要将各位取反(包括符号位)再末尾加 1
① $[x]_补=0.1101$ , 则 $[-x]_原 = 1.1101$ , $[-x]_补=1.0011$
② $[x]_补=1.1101$ , 则 $[-x]_原=0.0011$ , $[-x]_补=0.0011$