1 定义

树状数组不是树，是数组。
树状数组不是树，是数组。
树状数组不是树，是数组。

按照名字去猜含义，树状数组是像树一样的数组，的确如此。更精确地描述如下文。

1.1 前置知识 - lowbit函数

记一个正整数x的二进制表示为

x = a_{k-1}a_{k-2}a_{k-3}...a_{2}a_{1}a_{0}

其中等于1的位为 $a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}$ 那么x可以二进制分解成

x = 2^{i_1} + 2^{i_2} + \cdots + 2^{i_m}

我们设其中 $i_1 > i_2 > ... > i_m$ 依据此，我们将区间 $[1, x]$ 可以分成以下 $m$ 个区间

\begin{align*} & [1, 2^{i_1}] \tag{1} \\ & [2^{i_1} + 1, 2^{i_1} + 2^{i_2}] \tag{2} \\ & [2^{i_1} + 2^{i_2} + 1, 2^{i_1} + 2^{i_2} + 2^{i_3}] \tag{3}\\ & \cdots \\ & [2^{i_1} + 2^{i_2} + \cdots + 2^{i_{m - 1}} + 1, 2^{i_1} + 2^{i_2} + \cdots + 2^{i_{m - 1}} + 2^{i_m}] \tag{m} \end{align*}

对于上述每个区间，记区间右端点是 $R$ ，那么区间长度为 $R$ 的二进制分解下最小的2次幂。结合例子来看，对于数字7，他的二进制分解为

7 = 2^2 + 2^1 + 2^0

那么区间 $[1, 7]$ 就可以分解成

\begin{align*} & [1, 2^2] \tag{1} \\ & [2^2 + 1, 2^2 + 2^1] \tag{2} \\ & [2^2 + 2^1 + 1, 2^2 + 2^1 + 2^0] \tag{3} \\ \end{align*}

即 $[1, 4]\ [5, 6]\ [7, 7]$ 三个区间。这个给出的lowbit函数就是可以快速计算出x的最小二次幂的一个函数。实现如下:

int LowBit(int x)
{
    return x & -x;
}

1.2 树状数组

树状数组就是基于上述切割数组的一种数据结构，主要作用是维护原数组的前缀和。

记原数组为 $A[1..N]$ , 对应构建的树状数组为 $B[1..N]$ ，对于每个 $x, 1 \leq x \leq N$ , 有：

B[x] = \sum_{i = x - lowbit(x) + 1}^xA[i]

即 $B[x]$ 表示区间 $[x - lowbit(x) + 1, x]$ 的A数组的和。结合具体例子来看

树状数组.jpg

对于树状数组 $B[x]$ ，有如下性质：

1. $B[x]$ 存放着所有以 $x$ 为根节点的子树中所有叶子节点的和
1. $B[x]$ 的中子节点个数为lowbit(x)
1. 除跟节点外，每个节点 $B[x]$ 的父节点是 $B[x + lowbit(x)]$
1. 树的深度是O(logN)

2 实现

树状数组主要支持两个操作，分别是

1 单点增加: 单点增加原始数组A的一个数，同时可以维护树状数组B；
2 查询前缀和: 查询原始数组前多少项数之和。其中单点增加可用来初始化树状数组。

2.1 单点增加

由上述分析可知，对于 $A[x]$ , 只有 $B[x]$ 以及其父节点存着 $A[x]$ ，那么 $A[x]$ 变化时，只要递归向上更新 $B[x]$ 即可。

// N is array length
// a[x] b[x]
void Add(int x, int y)
{
    int idx = x;
    while (idx <= N) {
        b[idx] += y;
        idx += LowBit(idx); // 父节点
    }
}

初始化树状数组就是将 $B[x]$ 全部初始化0，每一位进行Add操作即可。

2.2 查询前缀和

$B[x]$ 存放的就是 $B[x - lowbit(x) + 1, x]$ 的和，递归向下求解即可。

int GetPreSum(int x)
{
    int sum = 0;
    int idx = x;
    while (idx >= 1) {
        sum += b[idx];
        idx -= LowBit(x);
    }
    return sum;
}

2.3 全部模板代码

const int N = 100010; // for example
int a[N];
int b[N];

int LowBit(int x)
{
    return x & -x;
}

void Add(int x, int y)
{
    int idx = x;
    while (idx <= N) {
        b[idx] += y;
        idx += LowBit(idx);
    }
}

int GetPreSum(int x)
{
    int sum = 0;
    int idx = x;
    while (idx >= 1) {
        sum += b[idx];
        idx -= LowBit(x);
    }
    return sum;
}

【算法模版】树状数组