组合游戏定义：
- 有两个玩家
- 游戏的操作状态是一个有限的集合（比如：限定大小的棋盘）
- 游戏双方轮流操作
- 双方的每次操作必须符合游戏规定
- 当一方不能将游戏继续进行的时候，游戏结束，同时对方为获胜方
- 无论如何操作，游戏总能在有限次操作后结束
必败点和必胜点（P点&N点）
- 必败点（P点）：前一个选手（Previous player）将取胜的位置称为必败点
- 必胜点（N点）：下一个选手（Next player）将取胜的位置称为必胜点
必败（必胜）点属性
- 所有终结点（即结束游戏的点）是必败点（P点）
- 从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方法可以进入必败点（P点）
- 无论如何操作，从必败点（P点）都只能进入必胜点（N点）
导引题目
玩家：2人
道具：23张扑克牌
规则：
1、游戏双方轮流取牌
2、每人每次仅限于取1、2、3张牌
3、扑克牌取光，则游戏结束
4、最后取牌的一方为胜者
取子游戏算法实现
- 将所有终结位置标记为必败点（P点）
- 将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点）
- 如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点），则将该点标记为必败点（P点）
- 如果在步骤三未能找到新的必败点（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2
导引输赢表（部分）
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P | N | N | N | P | N | N | N | P | N |
巴什博弈
两个顶尖聪明的人在玩游戏，有n个石子，每人可以随便拿1−m个石子，不能拿的人为败者，问谁会胜利？
我们从最简单的情景开始分析
当石子有1−m1−m个时，毫无疑问，先手必胜
当石子有m+1m+1个时，先手无论拿几个，后手都可以拿干净，先手必败 当石子有m+2−2mm+2−2m时，先手可以拿走几个，剩下m+1m+1个，先手必胜
我们不难发现，面临m+1m+1个石子的人一定失败。
这样的话两个人的最优策略一定是通过拿走石子，使得对方拿石子时还有m+1m+1个
我们考虑往一般情况推广
- 设当前的石子数为n=k∗(m+1)+rn=k∗(m+1)+r 先手会首先拿走rr个，接下来假设后手拿走xx个，先手会拿走m+1−xm+1−x个，这样博弈下去后手最终一定失败
- 设当前的石子数为n=k∗(m+1)n=k∗(m+1) 假设先手拿xx个，后手一定会拿m+1−xm+1−x个，这样下去先手一定失败
代码实现
#include<cstdio>
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n % (m+1) !=0) printf("first win");//先手赢
else printf("second win");//后手赢
return 0;
}
导引游戏改编
其他不变，将可取的牌数变为1、3、4张
导引改编输赢表（部分）
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P | N | P | N | N | N | N | P | N | P | N | N | N | N | P | N |
组合博弈图类型
- 给定一个N*M的矩阵，起点在右上角。棋子只能向左走、向下走、向左下走。二人轮流走一次，如果轮到某一个人，该棋子的位置使得他无路可走，那么他就输了。
此时可以通过找规律找出来，当n=4，m=6时，从下往上的输赢表为：PNPNPN、NNNNNN的交替。所以可知，当n和m都为奇数时，棋子所在的位置为必胜点，否则都必败点。
威佐夫博奕
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
结论
必败点（P）：（ai，bi）
ai=[i*（1+√5）/2]（方括表示下取整），bi=ai+i
其余均为必胜点（N）
代码实现
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
main()
{
int a,b;
scanf("%lld%lld",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
int temp=abs(a-b);
int ans=temp*(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
if(ans==a) printf("0");
else printf("1");
return 0;
}
Nim游戏
玩家：2人
道具：有3堆扑克牌（分别为5，7，9）
规则：
1、游戏双方轮流取牌
2、玩家的每次操作是选择其中的一堆牌，然后从中取走任意张牌
3、扑克牌取光，则游戏结束
4、最后取牌的一方为胜者
可知：（x，y，z）为三堆牌所剩余的牌数
Nim-sum
Nim-sum从高位往低位找的第一个的1，往上对应有几个1则有几个方案。
SG函数
组合游戏的并
Nim游戏改编【三个小游戏组成一个大游戏】
玩家：2人
道具：有3堆扑克牌（分别为5，7，9）【可任意】
规则：
1、游戏双方轮流取牌
2、玩家的每次操作是选择其中的一堆牌，然后从中取走1~3张牌
3、扑克牌取光，则游戏结束
4、最后取牌的一方为胜者
g（5，7，9）=？？
由于取的是1-3张牌，输赢表为PNNNPNNN以此循环，四个为一组，所以此时g（x）=x%4；
所以：g（5）=1；g（7）=3；g（9）=1；
再将三者分别按位异或。
001
011
001
异或----------
011=>3=g(5，7，9)
Nim游戏改编的改编
玩家：2人
道具：有3堆扑克牌（分别为5，7，9）【可任意】
规则：
1、游戏双方轮流取牌
2、玩家的每次操作是选择其中的一堆牌，对于第一堆牌每次只能取出1-2张牌，对于第二堆牌每次只能取出1-3张牌，对于第三堆牌每次只能取出2-3张牌
3、扑克牌取光，则游戏结束
4、最后取牌的一方为胜者
做法相同，一样都是求出每个小游戏的sg值，然后再按位异或求出大游戏的sg值。
例题
输入一个k，代表规则的个数，紧随其后输入k的整数，分别代表每次取牌的规则（例如规则为2 5，则每次取牌只能取2张或者5张）。
在下一行，输入一个整数t，代表情况数量，在接下来的n行中，每行输入一个整数n代表牌堆数量，和n个整数，分别代表每个牌堆所拥有的牌数。
当输入k为0的时候结束输入。
输出先手的人是输还是赢，如果赢则输出“W”否则输出“L”。
样例输入
2 2 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
5 1 2 3 4 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
0
样例输出
LWW
WWL
AC代码
//记忆化DFS求SG值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,a[100],f[10001];
//参考sg函数定义，可更好理解
int sg(int p)
{
int i,t;
bool g[101]={0};//标记数组
for(int i=0;i<k;i++)//枚举所有规则
{
t=p-a[i];//跳转状态，即后继状态
if(t<0)//小于0代表不合法
break;//如果main函数不写sort函数，可将此处改为continue
if(f[t]==-1)//如果后继状态还没算出来，那我就算出来，放到f[t]中
f[t]=sg(t);
g[f[t]]=1;//标记一下算出来的状态
}
for(int i=0;;i++)//从小往大找，遍历g[i]，找一个g[i]未记录的最小的非负整数
{
if(!g[i])//如果没被记录
return i;//返回i
}
}
int main()
{
int n,i,m,t,s;
while(scanf("%d",&k),k)//规则数量
{
for(int i=0;i<k;i++)
scanf("%d",&a[i]);//将规则读到a数组里
sort(a,a+k);//对规则a进行排序，升序
memset(f,-1,sizeof(f));//将f初始化
f[0]=0;
scanf("%d",&n);//情况数量
while(n--)
{
scanf("%d",&m);//牌堆数量
s=0;
while(m--)
{
scanf("%d",&t);//每个牌堆的卡牌数量
if(f[t]==-1)//如果f[t]还没求过【记忆化：可提高效率】
f[t]=sg(t);//f[t]保存的是t这个状态的sg值
s=s^f[t];//将每个小游戏的sg值进行按位异或，逐渐得到大游戏的sg值
}
if(s==0)//由之前定理可知，如果sg值为0，则先手必败
printf("L");
else//否则，先手必胜
printf("W");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
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