代码源：47、数学

题目描述

这是代码源5月9日的div2每日一题

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数学 - 题目 - Daimayuan Online Judge

给定整数 n，胖教授想将1∼n这n个数字分成两组，每一组至少有一个数，并且使得两组数字的和的最大公约数最大，请输出最大的最大公约数。

输入格式

一行一个整数n。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例输入

6

样例输出

7

数据规模

对于20%20%的数据，保证n≤100。

对于100%100%的数据，保证n≤10^9。

\

问题解析

两个前置知识：

1、1~n的数可以通过相加组合出[1，n*(n-1)/2]的任何一个数。

2、如果有：x+y=sum，那么gcd(x,y)=gcd(x,sum)=gcd(y,sum);

n*（n-1）/2就是1到n的数全部加起来，在这里因为我们把1~n分开成两堆，一堆的和我们记作x，另一堆的和我们记作y，那么自然就有x+y=n *(n-1)/2。然后我们要获得尽量大的gcd（x,y）,就可以通过gcd(x,sum)或gcd(y,sum)得到。这种情况下，当x或y是sum的最大因数时，gcd最大，所以我们可以通过对sum求最小的因数得到sum最大的因数。这个因数就是我们要的答案。

如果找不到因数，那就要看另外两种情况了，1是n为偶数的情况，此时最大的结果为n+1，举例：1 2 3 4 5 6，我们对称位置相加可以得到3个7，那么两个堆的和可以分别是7和14，最大的公约数为7。

当n是奇数时，最大的结果为n，举例：1 2 3 4 5，我们先把末尾的5去掉，在把剩下的数如上操作对称相加，可以得到2个5，加上我们之前去掉的一共是3个5，同理可得最大公约数为5.

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<numeric>
#include<string>
#include<string.h>
#include<iterator>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<stack>
#include<list>
#include<queue>
#include<iomanip>

#define endl '\n';
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll>PII;
int MOD = 1e9 + 7;

int main()
{
    ll n;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i * i <= n + 1; i++) {
        if (((n + 1) * n / 2) % i == 0) {
            cout << (n + 1) * n / 2 / i;
            return 0;
        }
    }
    if (n % 2 == 0) {
        cout << n + 1;
    }
    else {
        cout <<  n;
    }
    return 0;
}