🐱🐉树的相关概念
1、双亲、孩子和兄弟
2、结点的度：一个结点的子树的个数记为该结点的度。 3、叶子结点：也称为终端结点，指度为零的结点。 4、内部结点：度不为零的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。 5、结点的层次：根为第一层，根的孩子在第二层，依此类推。 6、树的高度：一棵树的最大层次数记为树的高度（或深度）。 7、有序（无序）树：若将树中结点的各子树看成是从左到右具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。 8、森林：m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
二叉树
• 定义：二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两棵不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成。 • 树和二叉树的区别：（1）二叉树中结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树，而树中不用区分。 （2）二叉树中结点的最大度为2，而树中无限制。
二叉树的性质
1、二叉树第i（i≥1）层上至多有2i-1个节点。 2、深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。 3、对任何一棵二叉树，若其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则 n0=n2+1。
满二叉树和完全二叉树
• 满二叉树的定义：若深度为k的二叉树有2k-1个结点，则称其为满二叉树。 • 完全二叉树：当深度为k、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1～n的 结点一一对应时，称之为完全二叉树。
完全二叉树的性质
• 设深度为k的完全二叉树共有n个结点，那么可知，除第k层外，其余各层都有最多的结点数。 • 具有n个结点的完全二叉树的深度为INT(log2n)+1。 • 假设有编号为i的结点，则有： （1）若i=1，则该结点为根结点，无双亲；若i>1，则该结点的双亲结点为INT(i/2) （2）若2i≤n，则该结点的左孩子编号为2i，若2i>n，无左孩子。 （3）若2i+1≤n，则该结点的右孩子编号为2i+1，若2i+1>n，无右孩子。
二叉树存储结构
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顺序存储：事先根据树的深度 k ，申请一个长度为 2^k - 1 的地址，然后按照一个一个的节点存储，节点若为空，地址也要空着。（适合完全二叉树存储）
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链式存储：
- 二叉链表：每个节点存储三部分。左指针（指向左孩子）、节点信息、右指针（指向右孩子）。左右节点没有的话为空
- 三叉链表：每个节点存储四部分。左指针（指向左孩子）、节点信息、指向父节点的指针、右指针（指向右孩子）。左右节点或者父节点没有的话为空
二叉树的遍历
• 遍历是按某种策略访问树中的每个结点，且仅访问一次。 • 依据访问根结点次序的不同，可分为前序遍历法、中序遍历法、后序遍历法。 （1）中序遍历法：（左、根、右） A、中序遍历根的左子树。 B、访问根结点。 C、中序遍历根的右子树。 依此类推。 （2）前序遍历法：先访问根结点（根、左、右） （3）后序遍历法：后访问根结点（左、右，根） （4）层序遍历法：按层从上至下、每层从左至右的顺序遍历。
最优二叉树
• 最优二叉树又称哈夫曼树，是一类带权路径长度最短的树。 • 权：是一个人为的概念，表示计算机对每个结点的访问频率。 • 路径长度：是每一个结点到根结点的路径的长度。 • 结点的带权路径长度：是指从该结点到根结点之间的路径长度与该结点权的乘积。 • 树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
构造最优二叉树的哈夫曼方法：
（1）根据给定的n个权值{w1，w2，…，wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2，…，Tn}，其中每棵树Ti只有一个带权为wi的根结点，其左右子树均空。 （2）在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，置新构造二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。 （3）从F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入到F中。重复（2）（3）步，直到F中只含一棵树时为止，这棵树便是最优二叉树（哈夫曼树）。 • 最优二叉树的一个应用是对字符集中的字符进行编码和译码。
二叉查找树
• 二叉查找树又称为二叉排序树。它或者是一棵空树，或者是具有如下性质的二叉树： （1）若它的左子树非空，则左子树上所有结点的关键码值均小于根结点的关键码值。 （2）若它的右子树非空，则右子树上所有结点的关键码值均大于根结点的关键码值。 （3）左、右子树本身就是两棵二叉查找树。 • 对二叉查找树进行中序遍历，可得到一个关键码递增有序的结点序列。 • 二叉查找树的作用：使用二叉查找树来查找树中的数值比普通的二叉树更为方便。
🐱🐉图
图的定义
• 一个图G（Graph）是由两个集合：V和E所组成的，V是有限的非空顶点（Vertex）集合，E是用顶点表示的边（Edge）集合，图G的顶点集和边集分别记为V（G）和E（G），而将图G记作G=(V，E)。 • 可以看出，一个顶点集合与连接这些顶点的边的集合可以唯一表示一个图。 • 在图中，数据结构中的数据元素用顶点表示，数据元素之间的关系用边表示。
图的相关概念
- 有向图：图中每条边都是有方向的。从顶点vi到顶点vj表示为<vi,vj>，而从顶点vj到顶点vi表示为<vj,vi>。有向边也称为弧。起点称为弧尾，终点称为弧头。
- 无向图：图中每条边都是无方向的。顶点vi和vj之间的边用(vi,vj)表示。在无向图中，(vi,vj)和(vj,vi)表示的是同一条边。
- 完全图：若一个无向图具有n个顶点，而每一个顶点与其他n-1个顶点之间都有边，则称之为无向完全图。显然，含有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边，类似地，有n个顶点的有向完全图中弧的数目为n(n-1)，即任意两个不同顶点之间都存在方向相反的两条弧。
- 度：某个顶点与之相连的有几条边
- 出度和入度：某个顶点出去的边有几条，进来的边有几条（对于有向图来说）
- 路径：某个顶点到另外一个顶点经过的边就叫路径，有几条边就叫路径长度。（有向图需要考虑方向）
- 子图：一个图的顶点集合和边集合都是另外一个图的子集，那么这个图就是另外一个图的子图
- 连通图：任意两个顶点之间都有路径（对于无向图来说）
- 强连通图：任意两个顶点之间都有路径（对于有向图来说）
- 网：每个边都带权值的图叫网
图的存储结构
（1）邻接矩阵表示法：a(i,j) 代表从 i 到 j 是否有路径，有就在矩阵上添 1 ，没有就添 0.（无向图表示出来的矩阵是对称的），如果是网的话，有就用权值表示，没有就用 无限大 (∞)表示。
（2）邻接链表表示法： 邻接链表是为图的每一个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的节点表示依附于顶点vi的表（对于有向图是以vi为尾的弧，建议去看一下图，有助于理解）。
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