Dynamic Programming学习笔记 (35) - 统计只差一个字符的子串数目 (力扣# 1638)

本题出自力扣题库第1638题。题面大意如下：

给定两个字符串s和t，找出s中的非空子串的数目，这些子串满足替换 一个不同字符以后，是t的子串。 换言之，请你找到s和t串中恰好只有一个字符不同的子字符串对的数目。

示例：

输入：s = "aba", t = "baba"
输出：6
s中的第一个a，t中的第一个b
s中的第一个a，t中的第二个b
s中的第二个a，t中的第一个b
s中的第二个a，t中的第二个b
s中的b，t中的第一个a
s中的b，t中的第二个a

题解：

本题是双字符串输入类的DP应用， 根据题意，我们可以得到如下的DP表达式

F(i,j)
  = F(i - 1, j - 1), s[i]和t[j]相同
  = 1 + 从s[i]和t[j]往前倒数，相同的字符的个数, s[i]和t[j]不同

这里i和j分别时s与t的字符串数组下标，F(i,j)返回的是s中前i个字符的字串与t中前j个字符的字串之间符合题目要求的子串的数量。从题面出发，当s[i]和t[j]两个字符相同时，F(i,j)的返回值就是F(i - 1, j - 1)，也就是说s中前i-1个字符的字串与t中前j-1个字符的字串之间符合题目要求的子串的数量；而当s[i]和t[j]两个字符不同时，我们就要从s[i]和t[j]往前倒数，看有多少个相同的字符，加上1后，就是有多少个符合题目要求的子串的数量。

从以上表达式出发，我们定义一个二维数组，并使用双层循环依据s和t的字符串数组下标从小到大依次计算DP数组中各个元素的值，循环完成后，对应s和t最后一个字符位置的DP数组元素中的数值就是问题的答案。

Java代码如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s, String t) {
        char[] sChars = s.toCharArray();
        char[] tChars = t.toCharArray();

        int sLength = sChars.length;
        int tLength = tChars.length;

        int dp[][] = new int[sLength + 1][tLength + 1];

        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= sLength; i ++) {
            for (int j = 1; j <= tLength; j ++) {
                if (sChars[i - 1] == tChars[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = 1;
                    int m = i - 1, n = j -1;
                    while (m >= 1 && n >= 1) {
                        if (sChars[m - 1] == tChars[n - 1]) {
                            dp[i][j] ++;
                            m --;
                            n --;
                        } else {
                            break;
                        }
                    }
                }
                count += dp[i][j];
            }
        }
        return count;
    }
}

以上算法的进一步优化是使用另一个DP数组来减少s[i]和t[j]不同时的计算次数。