1.内心&垂心

$I$为$\triangle_{ABC}$的内心，点 $D,E,F$ 为 $\triangle_{ABC}$ 内切圆的三个交点。$HD\perp EF$ 于点 $H$。
若$AH\perp BC$ ，证明: $H$ 是$\triangle_{ABC}$的垂心。 大家可以先思考。 乍一看感觉没什么思路，因为 $AH\perp BC$ 和之前的条件没什么关联，不太好处理。所以这引导我们要找到一个一般性结论，就是不一定满足 $AH\perp BC$ 时恒成立的结论。

证：

我们发现: $\angle_{BFH}=\angle_{CEH}$。又 $H$ 是$\triangle_{ABC}$的垂心 $\Leftrightarrow\angle_{FBH}=\angle_{ECH}$。

我们发现这里只需要证明$\triangle_{FBH}\sim\triangle_{ECH}\Leftrightarrow \frac{EF}{EC}=\frac{FH}{HE}$。

接下来就是计算了。设 $\angle_B=\alpha,\angle_C=\beta$ 。则$\large\frac{EF*\sin\frac{\alpha}{2}}{EC*sin\frac{\beta}{2}}=\frac{FD}{ED}$。$\large\frac{EF}{EC}=\frac{FD*\sin\frac{\beta}{2}}{ED*sin\frac{\alpha}{2}}$。

倒角得: $\angle_{DFE}=$ 90°$-\frac{\beta}{2}$,$\angle_{DEF}=$ 90°$-\frac{\alpha}{2}$。

$\large\therefore \frac{FH}{HE}=\frac{FD*cos(\angle_{DFE})}{ED*cos(\angle_{DEF})}=\frac{FD*\sin\frac{\beta}{2}}{ED*sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{EF}{EC}$

证毕。