华里士公式及例题

1. 基本公式

$\int_0^\frac{π}{2} (sinx)^n\, dx = \int_0^\frac{π}{2} (cosx)^n\, dx = \begin{cases} \dfrac{n-1}{n} \dfrac{n-3}{n-2} ...\dfrac{2}{3}， n 为正奇数 \\ \\ \dfrac{n-1}{n} \dfrac{n-3}{n-2} ...\dfrac{1}{2}，n 为正偶数 \end{cases}$

2.推导结论

$\int_0^π (sinx)^n\, dx = 2 \int_0^\frac{π}{2} (sinx)^n\, dx， n 为正整数$

$\int_0^π (cosx)^n\, dx = \begin{cases} 0，n 为正奇数 \\ 2 \int_0^\frac{π}{2} (cosx)^n\, dx，n 为正偶数 \end{cases}$

$\int_0^{2π} (sinx)^n\, dx = \int_0^{2π} (cosx)^n\, dx = \begin{cases} 0，n 为正奇数 \\ 4 \int_0^\frac{π}{2} (sinx)^n\, dx，n 为正偶数 \end{cases}$

3.例题

计算积分 $\int_0^6 x^2\sqrt{6x-x^2}\, dx \\ =\int_0^6 x^2\sqrt{9-(x-3)^2}\, dx \\ 令 \; x - 3=3sint \quad x=3sint + 3 \quad dx=3cost\;dt \\ =\int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}9[(sint)^2 + 2sint+ 1]9(cost)^2\,dt \\ =81[\int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}(sint)^2(cost)^2\,dt + 2\int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}sint(cost)^2\,dt + \int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}(cost)^2\,dt] \\ =81[\int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}(sint)^2(cost)^2\,dt + 0(奇函数) + \int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2}(cost)^2\,dt] \\ =81[2\int_0^\frac{π}{2}[1-(cost)^2](cost)^2\,dt + 2\int_0^\frac{π}{2}(cost)^2\,dt] \\ =81[2[\int_0^\frac{π}{2}(cost)^2\,dt-\int_0^\frac{π}{2}(cost)^4\,dt] + 2\int_0^\frac{π}{2}(cost)^2\,dt] \\ =81[2[\dfrac{1}{2}.\dfrac{π}{2}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{π}{2}] + 2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{π}{2}]\\ =81.\dfrac{5π}{8} \\ =\dfrac{405π}{8}$