背包问题

1、0/1背包问题 给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大?

问题分析：面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

我们声明先一个大小为f[n][c]的二 维数组，f[i][j]表示在面对第i件物品，且背包容量为j时所能获得的最大价值。

例如这样一个问题：

【题目描述】

一个旅行者有一个最多能装M公斤的背包,现在有n件物品,它们的重量分别是W1, W2, ...Wn它们的价值分别为C1,C2....Cn ,求旅行者能获得最大总价值。

【输入】

第一行：两个整数， M(背包容量， M≤200)和N(物品数量，N≤30) ; 第2..N+ 1行；每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】

10 4 2 1 3 3 4 5 7 9 【输出样例】

12 设置一个dp[i][j]数组。i表示的是物品，j表示容量，dp[i][j]表示价值。

dp[1][0]则表示容量为0，拿第1个物品时，价值是多少。

......

dp[1][M]表示容量为M，拿第1个物品时，价值是多少。

.....

dp[N][M]表示容量为M，拿第N个物品时，价值是多少。

画表查看

重量W[i]

价值C[i]

                                                    背包容量（一个是10）j

注①：第0个物品，无论放进多大的背包，价值都为0；

注②：第1个物品（重量为2，价值为1），只能放到背包容量大于等于2的背包；

注③：这一行的第一个数据1，背包容量为2，不足以放进第二件物品。只能不拿，这个1是上一个物品拿的价值，根据后无效原则，可以不管。j < w[i]（当前物品容量大于背包容量），不足以放下，只能不拿。dp[i][j] = dp[i-1][j]（上一种物品的价值）；

这一行的第二个数据3，根据价值最大原则，拿的是第二件物品，价值为3；j > w[i]（当前物品容量小于背包容量）；

如果不拿，上一物品的价值：dp[i][j] = dp[i-1][j] = 1；如果拿了，容量应该减去当前的容量，并且价值加上当前价值。dp[i][j] = dp[i-1][j - w[i]] + c[i] = dp[1][0]+3 = 0 + 3 = 3；然后取较大值。状态转移方程式dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - w[i]] + c[i]);

这一行的第三个数据3,dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - w[i]] + c[i])；dp[i][j] = max(dp[2][4],dp[2][4-3] + 3) = max(3,0+3) = 3

......

//重点代码 if(j < w[i]) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; } else { dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - w[i]] + c[i])； } 完整代码

#include #include using namespace std;

//01背包问题

int dp[35][205];/dp[i][j]数组/ int w[35]; /重量数组/ int c[35]; /价值数组/

int main(int argc, char* argv[]) { int m, n; //m是背包重量，n是物品数量 cin >> m >> n; //读入数据 for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> w[i] >> c[i]; }

//做递推
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	{
		//放不下
		if (j < w[i])
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}
		else
		{
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]);
		}
	}
}

//输出dp表
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
	for (int j = 0; j <= m; j++)
	{
		cout << dp[i][j] << "\t";
	}
	cout << endl;
}
//只输出最终结果
cout << dp[n][m] << endl;
system("pause");
return 0;