斐波那契数列

题目

用 Javascript 计算第 n 个斐波那契数列的值，注意时间复杂度。

分析

斐波那契数列很好理解

• f(0) = 0
• f(1) = 1
• f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) 前两个值的和

递归计算

但这种方式会导致很多重复计算。
时间复杂度是 O(2^n) ，爆炸式增长，不可用。（可以试试 n: 100 ，程序会卡死）

优化

不用递归，用循环，记录中间结果。时间复杂度降低到 O(n)

动态规划

即，把一个大问题，拆解为不同的小问题，递归向下。

【注意】一般使用动态规划的思路（递归）分析问题，再转换为循环来解决问题。

三大算法思维

• 贪心（递归）
• 二分
• 动态规划

答案

递归版

/**
 * 斐波那契数列（递归）
 * @param n n
 */
function fibonacci(n: number): number {
    if (n <= 0) return 0
    if (n === 1) return 1

    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
}



// 使用缓存优化后的递归方式
let mapData = new Map()
function fib(n){
  if(n == 0 || n ==1) return 1;
  if(mapData.get(n)){  //这一步就避免了重复计算
       return mapData.get(n);
   }
  let value = fib(n-1) + fib(n-2)
  mapData.set(n, value)
  return value
}

尾递归优化版：

function factorial(n, total) {  
    if (n === 1) return total;    
        return factorial(n - 1, n * total);  
    }    
 factorial(5, 1) // 120

循环版：

/**
 * 斐波那契数列（循环）
 * @param n n
 */
export function fibonacci(n: number): number {
    if (n <= 0) return 0
    if (n === 1) return 1

    let n1 = 1 // 记录 n-1 的结果
    let n2 = 0 // 记录 n-2 的结果
    let res = 0

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        res = n1 + n2

        // 记录中间结果
        n2 = n1
        n1 = res
    }

    return res
}

划重点

• 动态规划的思路
• 识别出时间复杂度

扩展

青蛙跳台阶：一只青蛙，一次可以跳 1 个台阶，也可以跳 2 个台阶，问该青蛙跳上 n 级台阶，总共有多少种方式？

分析

• f(1) = 1 跳 1 级台阶，只有一种方式
• f(2) = 2 跳 2 级台阶，有两种方式
• f(n) = f(n - 1) + fn(n - 2) 跳 n 级，可拆分为两个问题
  • 第一次跳，要么 1 级，要么 2 级，只有这两种
  • 第一次跳 1 级，剩下有 f(n - 1) 种方式
  • 第一次跳 2 级，剩下有 f(n - 2) 种方式

看公式，和斐波那契数列一样。