Games101 笔记 Part1 图形学中的线性代数 Day2 矩阵与变换 Day3 观测变换——视图变换与投影变换

Day2 矩阵与变换

2D仿射变换

• 线性变换 x' = M x

  • 缩放变换： $\begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x&0\\0&s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

    s_x为x的缩放倍数，s_y为y的缩放倍数；

  • 切片变换： $\begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&a\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

  • 旋转变换： $\begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

    默认以原点按照逆时针方向旋转；

• 平移变换：\begin{cases} x' = x + t_x\ y' = y + t_y\end{cases}

  • 用齐次坐标将加法合并为矩阵乘法（齐次坐标：将n维向量用n+1的向量维表示）；
  • $\begin{bmatrix} x^{'}\\y^{'}\\w' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&t_x\\0&1&t_y \\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}$

逆变换与组合变换

• 变换与逆变换对应矩阵与逆矩阵；

• 复杂的变换可以拆分成简单变换按顺序的组合（变换的顺序对应矩形乘法的逆序，详见例）。

• 例1： $T_{(1,0)} \cdot R_{45} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&1\\0&1&0 \\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos45°&-sin45°&0\\sin45°&cos45°&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}$

• 例2： $T(c) \cdot R(α) \cdot T (-c)$

推广到3D

• 缩放：$\begin{bmatrix} s_x&0&0\\0&s_y&0 \\ 0&0&s_z \end{bmatrix}$；

• 切片_沿X拉伸：$\begin{bmatrix} 1&d_y&d_z\\0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ ；

• 旋转：

  • 绕x轴：$\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cosθ&-sinθ \\ 0&sinθ&cosθ \end{bmatrix}$ ；
  • 绕y轴：$\begin{bmatrix} cosθ&0&sinθ\\0&1&0 \\ -sinθ&0&cosθ \end{bmatrix}$ ；
  • 绕z轴：$\begin{bmatrix} cosθ&-sinθ&0\\sinθ&cosθ&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ ；

• 平移+线性：$\begin{bmatrix} a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y \\ g&h&i&t_z \\0&0&0&1\end{bmatrix}$

Day3 观测变换——视图变换与投影变换

旋转的描述

欧拉角

（默认以原点旋转）将任意的旋转分解成绕x、y、z轴的旋转：

$R_{xyz}(α,β,γ) = R_x(α)R_{y}(β)R_{z}(γ)$

四元数

变换的过程

变换的目的——将三维物体映射到二维屏幕上

MVP变换

• 模型变换——model transformation：调整物体
• 视图变换——view transformation：调整相机
• 投影变换——projection transformation：建立映射

视图变换

需要调整的参数：

• 相机位置：原点——平移变换
• 相机朝向：z轴负方向——旋转变换
• 向上方向：y轴正方向——旋转变换

先平移后旋转即可

$M_{view} = R_{view} T_{view}$

因为视图变换相机需要带动场景中的所有物体一起变换，维持相对位置不变，所以模型变换和相机变换经常一起进行，被称为模型视图变换

投影变换

• 正交投影——$Orthographic Projection$

定义八方向参数：$top,bottom,near,futher,left,right$

先平移后缩放即可

$M_{ortho} = S_{ortho} T_{ortho}$

$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0\\0&\frac{2}{t-b}&0&0 \\ 0&0&\frac{2}{n-f}&0 \\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\0&1&0&-\frac{t+b}{2} \\ 0&0&1&-\frac{n+f}{2} \\0&0&0&1\end{bmatrix}$

• 透视投影——$Perspective Projection$

  • 先进行近大远小的处理：按z轴深度（观察角度）成比例缩放；
  • 后进行正交投影。