Games101 笔记 Part1 图形学中的线性代数 Day1 向量与矩阵

Day1 向量与矩阵

向量

向量的点乘

计算公式：

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec a||\vec b|cosθ$；
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}x_a\\y_a\end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x_b\\y_b \end{pmatrix} = \begin{Bmatrix} x_a\\y_a \end{Bmatrix} · \begin{Bmatrix} x_b & y_b \end{Bmatrix} = x_ax_b + y_ay_b$;

应用场景：

• 几何意义：$\vec a$在 $\vec b$ 方向上投影的长度与 $\vec b$ 长度的乘积。

• 求 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的夹角：$cosθ = \frac{\vec{a} · \vec{b} }{|\vec a||\vec b|}$;

• 将 $\vec a$ 按照 $\vec b$ 的方向进行正交分解：

  $\vec asinθ = \vec a - \vec a cosθ$

• 判断同向、垂直、反向：

  $\vec{a} · \vec{b} \begin{cases} >0,&\vec a与\vec b 同向; \\ =0,&\vec a与\vec b 垂直; \\ >0,&\vec a与\vec b 反向;\end{cases}$

  将向量进行单位化之后可以根据点积和1是否接近来判断两向量方向是否接近。

向量的叉乘：

特殊性质：

• 判断方向：

  • 右手螺旋定则：右手呈点赞状，四指旋转方向代表 \vec a 到 \vec b 的方向，拇指代表叉乘方向；

• $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec b\times\vec a$；

计算公式：

• $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec a||\vec b| sinθ$；
• $\vec{a} \times \vec{b} = x_ay_b - y_ax_b$；
• $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_az_b - z_ay_b\\z_ax_b-x_az_b\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}$；

应用场景：

• 根据叉乘方向构建三维坐标系：

  • $\vec{x} \times \vec{y} = \vec z$；代表右手坐标系
  • $\vec{x} \times \vec{y} = - \vec z$；代表左手坐标系

• 判断两向量的时针顺序关系：

  $\vec{a} \times \vec{b} \begin{cases} >0,&\vec a在\vec b 的顺时针方向; \\ =0,&\vec a与\vec b 同向; \\ >0,&\vec a在\vec b 的逆时针方向;\end{cases}$

• 根据第二点的延申：判断点是否在多边形内——判断点与多边形顶点的构成的向量与所有边向量的叉积是否同号。

点乘与叉乘

使用叉乘构造三维坐标系，使用点乘将向量进行分解。

矩阵

基本操作：

• 数乘

• 乘积：前行乘后列

• 转秩：

  • $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix}$ ;
  • 乘积的转秩：$(A^{T}B^{T}) = B^{T} A^{T}$

• 矩阵的逆：

  • 单位矩阵：$I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
  • $AB = I，则B 为 A 的逆矩阵，记作 A^{-1}$；
  • $AA^{-1} = A^{-1}A$

• 正交矩阵：矩阵的转秩即为逆矩阵。

  如旋转矩阵：$\begin{bmatrix} cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ \end{bmatrix}$