数论1 逆元

定义

每个数a都有与其对应的乘法逆元x,$使得ax\equiv 1(mod n)$
有逆元的充要条件为:$gcd(a,n)=1$
定义:$对于正整数a,n。如果有ax\equiv 1(modn)称x最小整数解为a模n的逆元$

用途1.求大数乘法取模

应用:a或b很大,会暴精度时使用。
证明:$b*k\equiv 1 (modp),b*k=p*x+1,k=\frac{p*x+1}{b}$
$将k带入(a*k)mod p得:\frac{a*p*x+a}{b}mod p=\frac{a*p*x}{b}modp+\frac{a}{b}modp$
$=0+\frac{a}{b}modp=\frac{a}{b}modp$
证毕。\

逆元的求法

1.暴力遍历
给定模m，要求逆元的元素x.遍历1-m-1.寻找是否有元素满足。
2.扩展欧几里得算法

套用二元一次方程的解法。用扩展欧几里得算法求得X0,Y0,和gcd。gcd不为1说明逆元不存在。
python模板

def exgcd(a, b):
    global x, y
    if b == 0:
        x, y = 1, 0
        return a
    d = exgcd(b, a % b)
    x, y = y, x
    y -= (a // b) * x
    return d