关于动态规划三角矩阵的空间优化

StephenChips
246 阅读4分钟

关于三角矩阵的定义，可以见维基百科：en.wikipedia.org/wiki/Triang…，简单来说，就是矩阵对角线一边的值为零，另外一边非零的矩阵，比如下面的矩阵就是：

A=[ 100 110 111]A = \begin{bmatrix}\ 1 & 0 & 0\\\ 1 & 1 & 0\\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
B=[ 111 110 100]B = \begin{bmatrix}\ 1 & 1 & 1\\\ 1 & 1 & 0\\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
C=[ 001 011 111]C = \begin{bmatrix}\ 0 & 0 & 1\\\ 0 & 1 & 1\\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
D=[ 111 011 001]D = \begin{bmatrix}\ 1 & 1 & 1\\\ 0 & 1 & 1\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

先声明，为了与程序数组保持一致，本文所有矩阵、数组下标皆由00开始。

这样的矩阵与“动态规划”有什么关系呢？我们知道所有动态规划都会使用表格来暂存计算过的子问题的解。如果子问题空间由两个变量决定，即子问题的形式为P(x,y)P(x, y)，那么我们通常会使用一张二维表格来存储这些子问题。显然我们可以把这张二维表格，看作一个矩阵。如果在求解过程中，我们只使用矩阵对角线的一半，那么产生的就是一个三角矩阵了。

显然，我们可以使用“三角数组”来存储子问题的值。在“三角数组”中每行元素的数量比上一行多一，或少一。下面的JavaScript代码就是典型的创建“三角矩阵”的例子：

function createUpperTriangle(n) {
    const arr = [];
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        arr.push(new Array(i));
    }
    
    return arr;
}

function createLowerTriangle(n) {
    const arr = [];
    for (let i = n; i > 0; i--) {
        arr.push(new Array(i));
    }
}

createUpperTriangle(3);
// [
//   [ empty ],
//   [ empty, empty ],
//   [ empty, empty, empty ]
// ]

createLowerTriangle(3);
// [
//   [ empty, empty, empty ],
//   [ empty, empty ], 
//   [ empty ]
// ]

我们显然能够使用三角矩阵记录矩阵AA、BB的值，但是稍加观察我们发件，三角矩阵并不适用于矩阵CC、DD——我们最后不得不使用一个完整的数组来保存矩阵的值。

这样的结果怎么看都不算完美，毕竟有将近一半的空间都被我们浪费掉了。有没有什么办法，能让矩阵CC、DD保存到三角数组中呢？答案是肯定的。稍微观察，我们可以发现，只要将矩阵CC“水平翻转”，它就变成了矩阵AA。根据这样的观察，我们可以大胆将矩阵CC的元素“水平翻转”，然后存放在三角矩阵中。尽管这样做解决的数据储存的问题，但却需要格外注意：三角数组的列并不等于矩阵的列，而是等于其“水平翻转”列。比方说，假设我想访问矩阵的第三行的第一个元素，那么在代码中，我就应该写arr[2][2]，而不是arr[2][0]。（假设arr是我们的三角数组，下标从00开始）。

这里给出一个水平翻转的公式。假设矩阵大小为n×mn × m，即有nn行、mm列，其中一个元素aa的位于第rr行，第cc列，那么该元素“水平翻转”后的位置为：

rflip=r cflip=m−c−1r_{flip} = r\\\ c_{flip} = m - c - 1

注意我们数组的下标由00开始。有趣的是，如果数组下标从11开始，那么变换公式就变为：

rflip=r cflip=m−c+1r_{flip} = r\\\ c_{flip} = m - c + 1

读者可以自行验证验证，由于数组下标我们统一从00开始，所以这种情况不做讨论。

当编写一个算法时，我们通常会创建两三个局部变量：i、j，来保存三角数组的行列值。我们需要使用这些这些变量，遍历整个三角数组，算出动态规划的解，另外，我们往往需要使用这些变量访问三角数组，将这些变量与其他值相比较（如输入参数、三角数组的大小等等），甚至将这些变量作为参数传入令一个子函数中。在编写程序时，我们时刻需要注意变量的值是否已经过“水平翻转”，并根据“是否翻转”，决定相应的判断条件，使用正确的操作符。这在下面的章节会进一步举例子说明。不过不管如何，这种间接性增大了编码的难度。个人建议如果面试碰到这类的题目，在有限的时间内，不要去做这个空间优化，而是先使用完整的二维数组记录子问题的值，以便快速给出一份正确的答案。

写这篇文章的动机，是《算法导论》的十五章“动态规划”中，有两道例题恰好可以使用本文的方法优化（“矩阵链乘”和“最优二叉树”）。在亲自实现的时候，如果优化了空间，使用三角矩阵储存子问题的值，那么整个实现最难的部份，倒不是弄清楚问题递归式的由来，而是变成了弄清楚有关储存列的变量的正确的值，以及相关的操作——这增加了我数个小时的Debug时间。

有趣的是刚看《算法导论》的例图（图15-5和15-10）的时候，我以为他的算法使用了三角矩阵优化了空间，再仔细研究一下书上的伪代码，发现并没有。另外，我在这里稍微抱怨一下：我觉得这个章节大可以写的更加通俗易懂。

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