数据结构——第三章：非线性结构（树）

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在讨论什么是数据结构： 数据结构是研究 数据的存储 和 数据的操作 的一门学问。

数据的存数分为两个部分：

• 个体的存储。（int、char、等等这些个体）
• 个体关系的存储。（链表，树，图）

总结：从某个角度而言，数据的存储==最核心==的就是个体关系的存储，个体的存储可以忽略不计。

再次讨论什么是泛型：

同一种逻辑结构，无论该逻辑结构物理存储是什么样子的，我们都可以对他执行相同的操作。

1、前景知识

• 专业的定义： 1、有且只有一个根节点 2、有若干互不相交的子树，这些子树本身也是一棵树。

• 通俗的定义 1、数是由节点和边（指针域）组成。 2、每个节点只有一个父节点、但可以有多个子节点。 3、但有一个节点例外，该节点没有父节点，我们称为根节点。

• 专业术语的解释

1、节点（一个小圈）、父节点（B是D的父节点、但A不是D的父节点）、子节点、子孙（所有节点都是根节点的子孙）、 堂兄弟（D和F）、兄弟（E和F）

2、深度：从根节点到最底层节点的层数称之为深度，根节点是第一层

3、叶子节点：没有子节点的节点（叶子下面已经不能分岔）（G、H、I、J）

4、非终端节点：实际就是非叶子节点（有子节点）

5、度：子节点的个数

• 树的分类 1、一般树：任意一个节点的子节点的个数，都不受限制。 2、二叉树：任意一个节点的子节点的个数，最多是两个，且子节点的位置不可更改。

3、森林：n个互不相交的树的集合

2、树的存储（重点）

1、规定规则：来将非线性暂时转化为线性的结构 （1）先序：ABCDEF （2）中序： （3）后序： 2、如果我们只看到，有效节点，那我们就无法推算出原来树的结构是什么 3、所以我们，先将他转化为完全二叉树、添加一些无效节点，来帮助我们推算原来树的结构。

（1）二叉树的存储

1、连续存储（数组）：必须要求这个树，是完全二叉树。 （如果：不是完全二叉树，就添加节点，构造完全二叉树） 特点：

• 1、知道有几个节点个数、就可以推算出节点的层数。
• 2、如果给我们一个编号，我们就可以推算出它的父节点、子节点。
• 3、耗用的内存比较大。

2、链式存储

（2）一般树的存储

目标：解决用线性结构来存储，非线性结构的数据结构。

• 双亲表示法：求父节点方便

• 孩子表示法：求子节点方便

• 双亲孩子表示法：求父节点和子节点都很方便

• 二叉树表示法：把一个普通树转化成二叉树来存储

具体转换方法： 设法保证任意一个节点的 左指针域指向它的第一个孩子， 右指针域指向它的兄弟， 只要满足此条件，就可以把一个普通树转化为二叉树。 一个普通树转化成的二叉树一定没有右子树

（3）森林的存储

先把森林转化为二叉树，再存储二叉树：

将相邻的父节点依次作为节点的右子树再对各父节点进行转化

3、二叉树的操作

考试经常考： （1）树的遍历 （2）已知两种遍历，求另一种遍历

线性化：将一个非线性的树，转化为一个线性的结构。

以根节点所在的位置，来进行规定序列 （1）先(根)序遍历（根左右） （2）中(根)序遍历（左根右） （3）后(根)序遍历（左右根）

先(根)序遍历（根左右）：A B D H ，E I， C F J ，K， G 中(根)序遍历（左根右）：D H B E I A J F K C G 后(根)序遍历（左右根）：H D I E B J K F G C A

（1）二叉树的先序遍历

• 先访问根节点

• 再先序访问左子树 （递归：子树当中，还是 根左右）

• 最后先序访问右子树（递归：子树当中，还是 根左右）

分析：A 、B、 D、 H、E、 I、 C、 F、 J、 K、 G 1、根节点：A 2、访问 A 的左子树：（也是先序遍历的步骤——> 体现递归） 当中：根节点是 B ，左子树是 D 、右子树是 E 。 依次类推，先访问B，后访问 D。（然后将 D 也进行先序遍历） 然后 D 的左子树为空，所以就访问 D 的左子树。

（2）二叉树的中序遍历

• 中序遍历左子树

• 再访问根节点

• 再中序遍历右子树

同样也是递归的思想： 所以顺序为： D、H、B、E、I、 A、J、F、K、C、G

分析：想要遍历一个大的二叉树（规模为n），要借助更小一层的二叉树来解决（规模为 n-1）。最先访问最小的二叉树。

（3）二叉树的后序遍历

• 先中序遍历左子树

• 再中序遍历右子树

• 最后遍历根节点

同样也是递归的思想： 所以顺序为： H、D、I、E、B、J、K、F、G、C、A

4、已知两种遍历序列求原始二叉树

• 我么已知一种遍历顺序的时候，永远不可能推算出原始二叉树。

• 我们已知先序和后序，也无法推断出原始二叉树

• 只有通过先序和中序或者中序和后序，我们才可以唯一的确定一个二叉树。

（1）已知先序、中序，求后序

先序：A B C D E F G H 中序：B D C E A F H G 求后序？ 那么此二叉树的后序为：DECBHGFA

按照先序的定义，A为最外层 根节点，按照中序的定义和前面的结论可知 BDCE 为A节点的左子树节点，FHG为A节点的右子树，再依次按照两个遍历定义可以推出原始二叉树为： 步骤：

1、先序第一个：A 根节点 ————> 中序当中：A 左边为左子树（BDCE），右边为右子树（FHG）。

2、再看先序：BCDE 为左子树的先序排列： 所以 B 是 A 的左节点。FHG 为左子树的先序排列： 所以 F 是 A 的右节点。

此时：最上面已经推理出来了，继续推理左子树的结构：（BDCE）

3、再从中序排序的左子树当中找B节点——> 中序当中：B没有左子树，右子树为（DCE）

4、在先序当中（DCE） 的排序为 CDE ：所以 C是根节点 此时不能确保，D 就是左节点，E就右节点。 有可能 D 是 C的右节点，然后 E 又是 D 的子节点。

5、在中序当中找到 C 的位置：中序当中为 （DCE） ，所以肯定 D 是C的左节点，E 是C的右节点

同理我们也可以推理出右子树的结构：在先序中是：FGH： 根节点是 F

6、在中序当中为 FHG ：所以说明 GH 是F 的右子树

7、在先序当中顺序为：GH ：所以 G 是根节点。 H 为G 的右节点。

（2）已知中序、后序，求先序

先序：根、左（左子树）、右（右子树）

在左子树当中：也是 根左右 在右子树当中：也是 根左右

5、树的应用

应用情况：

• 树是数据库中数据组织一种重要形式。

• 操作系统子父进程本身就是一颗树。

• 面向对象语言中类的继承关系

• 赫夫曼树

6、链式二叉树遍历程序

#include <stdio.h>

// binary tree 
typedef struct BTNode
{
	// 数据域
	int data;
	// 指针域
	struct BTNode * pLchild; // 解析名字：p代表指针，L：代表左， child 代表子节点
	struct BTNode * pLchild;
}BTNode,* PBTNode;



int main(void)
{
	// 创建一个树
	struct BTNode *pT = CreateBTree();

}

（1）CreateBTree

思考：

1、创建一个二叉树，需要几个参数，返回什么参数？

参数：根节点 返回值：返回根节点地址（4个字节），如果返回整个根节点（有可能根节点的数据域很大）

2、这个函数里面是静态构建，还是动态构建二叉树？（静态的话，当函数结束，栈会销毁）

PBTNode CreateBTree()