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最长回文子串

解法

一、中心扩张法 $(O(n^2))$

对于字符串中每个字符，都有可能是一个回文串的中心（回文串字符数为奇数）或一个回文串最中间两数之一（回文串字符数为偶数） 那么我们逐个遍历字符，以该字符为中心或中心的一部分，向左右两遍寻找，直到左右离中心距离相同的位置字符不同停止，找到的即是以该字符为中心最长的回文子串。 代码：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        string res;
        for (int i = 0; i < s.size(); i ++) {
            int l = i - 1, r = i + 1;
            while (l >= 0 && r < s.size() && s[l] == s[r]) l --, r ++;
            if (res.size() < r - l - 1) res = s.substr(l + 1, r - l - 1);
            
            l = i, r = i + 1;
            while (l >= 0 && r < s.size() && s[l] == s[r]) l --, r ++;
            if (res.size() < r - l - 1) res = s.substr(l + 1, r - l - 1);
        }
        return res;
    }
};

二、Manacher算法 $O(n)$

这是来自官方的一个最优解法。我们定义一个概念——臂长，表示中心扩张算法对外扩张的长度。比如以一个位置为中心，最大的回文字符串长度为2 * length+1，则其臂长为length。

下面我们只讨论奇数回文子串，因为我们在最后会用一种神奇的方法把偶数情况归类为奇数情况。

思路

在中心扩张算法中，我们能够得出以每个位置为中心店的臂长。那么，当我们要得出以下一个位置i的臂长时，可以利用之前得到的臂长信息。

具体点，如果位置j的臂长为length，并且有j + length > i，则当在位置i进行中心扩张时，我们可以先找到i关于j的对称点2 j - i。如果点2 j - i的臂长等于n，由回文子串的对称性我们就可以知道点i的臂长至少为min(j + length - i, n)这部分，从i + min(j + length - i, n) + 1开始扩张。

所以，我们只需要在中心扩张法的遍历过程中记录右臂在最右边的回文字符串，将其中心作为j，在计算过程中就能最大限度地避免计算

那么最后再解决一个问题：偶数长度的回文子串该怎么解决呢？ 我们可以用一个特殊的操作来把奇偶数情况统一起来：在字符串的头尾与各元素中间添加一个特殊字符#，那么长度为偶数的abab就会变成#a#b#a#b#；长度为奇数的aba就会变成#a#b#a#，长度均为奇数，就不存在奇偶问题了。 代码如下：

class Solution {
public:
    int expand(const string& s, int left, int right) { //将中心扩张算法封装为函数
        while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right])
            left --, right ++;
        return (right - left - 2) / 2;
    }

    string longestPalindrome(string s) {
        int start = 0, end = -1;
        string t = "#";
        for (char c: s) {
            t += c;
            t += '#';
        }
        t += '#';
        s = t; //改造字符串

        vector<int> arm_len; //存储每个元素作为中心时的臂长
        int right = -1, j = -1; //任务是选取右臂到达位置最靠右的中心点j
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            int cur_arm_len;
            if (right >= i) {
                int i_sym = j * 2 - i;
                int min_arm_len = min(arm_len[i_sym], right - i);
                cur_arm_len = expand(s, i - min_arm_len, i + min_arm_len);
            } else
                cur_arm_len = expand(s, i, i);
            arm_len.push_back(cur_arm_len);

            if (i + cur_arm_len > right) {
                j = i;
                right = i + cur_arm_len;
            }
            if (cur_arm_len * 2 + 1 > end - start) {
                start = i - cur_arm_len;
                end = i + cur_arm_len;
            }
        }

        string ans;
        for (int i = start; i <= end; ++i)
            if (s[i] != '#')
                ans += s[i];

        return ans;
    }
};